添付している画像の積分が解けません

添付している画像の積分が解けません
x=tanθと置くということはわかるのですが、θの範囲がわかりません、
x=0の時はθも0となると思いますが、x=2の時はθの値はどうなるかで詰まっています

質問者からの補足コメント

• 

  この問題って高校数学の範囲では解けないのですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/09/10 09:40

• 

  x=tanθとおくと、x=2の時のθの値が出なくないですか？

  No.14の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/09/11 15:22

No.18 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/14 13:59

＞ x=tanθとおくと、x=2の時のθの値が出なくないですか？

それ、No.1 に書いた。
No.1 自体は計算間違ってるから、
No.19 のほうを見てほしいけど。

大切なのは、θ の値を具体的に表示することじゃなく、
そのような θ が一意に存在することを言っておくこと。
どうせ後で生の θ の値じゃなく
sinθ, cosθ しか使わないなら、
tanθ の値が判ってればどうにかなる。

三角関数を使う計算では、このような α の使い方は
頻出だから、知っとくと吉。

No.17 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/12 19:55

あんまいろいろ暗記すんなや。

思いついたとこから、最終的にどうにかする。それが計算。

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/12 05:20

1/(1+x^2) を積分するときは　x=tanθ　と置く

1/√(1+x^2) を積分するときは　t=x+√(1+x^2)　と置く

と覚えましょう

画像は主な原始関数の表です

No.15 回答者： syotao 回答日時： 2024/09/11 17:24

＜x=tanθとおくと、x=2の時のθの値が出なくないですか？＞

たしかにπ/3、π/4、π/6のようにはっきりとした数は出ないけれど
tanのグラフからわかるようにtanθ＝2となるようなθは
0とπ/2の間にただ一つ存在するのはわかるからそれをかりにθ0
としておきます。後で説明するように実際に必要になってくるのは
θ0そのものよりsinθ0のほうだからなんの支障もないです。
ｘ＝tanθとおくと問題の積分は
＝∫[0～θ0]dθ/cosθとなりこれの不定積分は
(1/2)log[(1＋sinθ)/(1-sinθ)]と教科書にあるから
（具体的にはsinθ≠tとおいて置換積分）
∫[0～θ0]dθ/cosθ＝(1/2)log[(1＋sinθ0)/(1-sinθ0)]
ここでtanθ0＝2、0＜θ0＜π/2だから
cosθ0＝1/√(1＋tan²θ0)＝1/√5、sinθ0＝tanθ0cosθ0＝2/√5
したがって(1＋sinθ0)/(1-sinθ0)＝(1＋2/√5)/(1-2/√5)
＝(√5＋2)/(√5-2)＝(√5＋2)²　だから
答は(1/2)log(√5＋2)²＝2＋√5　になります。

No.14 回答者： syotao 回答日時： 2024/09/11 14:47

x＝tanθとおけば問題の積分は∫dθ/cosθになるけども

これのとき方はちゃんと高校の教科書にある。
だから高校の範囲で解くのならx＝tanθとするのが妥当と思うなぁ。
No.13さんのやりかたは大学数学を知っている人の発想。

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/11 10:15

#10の画像です

No.12 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/09/10 20:45

ホントかよー　　ムリゲーじゃね。

素直になればすっきり。

No.11 回答者： syotao 回答日時： 2024/09/10 17:22

ありさんの解答（No.9）が質問者さんの疑問に

一番寄り添っていると思う。
ぼくは全然気づかんかった、
すばらしい！！

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/10 16:33

以下高校数学の範囲での解答です

t=x+√(1+x^2) と置く
↓両辺をxで微分すると
dt/dx=1+x/√(1+x^2)
dt/dx={x+√(1+x^2)}/√(1+x^2)
↓t=x+√(1+x^2) だから
dt/dx=t/√(1+x^2)
↓両辺をtで割ると
(1/t)(dt/dx)=1/√(1+x^2)
↓左右を入れ替えると
1/√(1+x^2)=(1/t)(dt/dx)
↓両辺を(x=0～2まで)積分すると
∫[0～2]{1/√(1+x^2)}dx=∫[0～2](1/t)(dt/dx)dx

x=0のときt=1
x=2のときt=2+√5
だから
∫[0～2](1/t)(dt/dx)dx=∫[1～2+√5](1/t)dt
だから

∫[0～2]{1/√(1+x^2)}dx
=∫[1～2+√5](1/t)dt
=[log|t|][1～2+√5]
=log(2+√5)

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/10 13:09

No.1 のようなアホな間違いをしなければ、

x = tanθ でも別段悪くはない。
双曲線関数を使うより、高校生っぽくて素朴で良い気もする。

∫[0,2]{ 1/√(x²+1) }dx = ∫[0,α]{ 1/√(tan²θ+1) }{ dx/dθ }dθ　；x=tanθ
　　　　　　　　　　　= ∫[0,α]{ cosθ }{ 1/cos²θ}dθ
= ∫[0,α]{ 1/cosθ}dθ = ∫[0,α]{ 1/cos²θ}{ cosθ }dθ
　　　　　　　　　　　= ∫[0,sinα]{ 1/(1-s²) }ds　　　　　　　　；s=sinθ
　　　　　　　　　　　= ∫[0,sinα](1/2){ 1/(1+s) + 1/(1-s) }ds　
　　　　　　　　　　　= (1/2){ log(1+sinα) - log(1-sinα) }
　　　　　　　　　　　= log√( (1+sinα)/(1-sinα) ).

2 = tanα = (sinα)/(cosα) より cosα = (sinα)/2 = s/2. これを代入して
1 = cos²α + sin²α = (s/2)² + s² = (5/4)s² より s = 2/√5.
これを使って、
(1+sinα)/(1-sinα) = (1 + 2/√5)/(1 - 2/√5)
　　　　　　　　　= (√5 + 2)/(√5 - 2)
　　　　　　　　　= { (√5 + 2)(√5 + 2) }/{ (√5 - 2)(√5 + 2) }
　　　　　　　　　= { (√5 + 2)² }/{ 5 - 2² }
　　　　　　　　　= (√5 + 2)²
だから
∫[0,2]{ 1/√(x²+1) }dx = log√( (1+sinα)/(1-sinα) )
　　　　　　　　　　　= log(√5 + 2).