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整数問題です。

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質問者：アンドロメダシティ
質問日時：2024/06/28 13:53
回答数：6件

自然数 n で約数の個数が√(3n) 以上となるものを全て求める。
手も足も出ません。手持ちの問題集にも似た問題がありませんし、ネット上で検索しても見つかりませんでした。

できるだけ詳しい回答をお願いいたします。

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回答 (6件)

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No.7ベストアンサー

回答者： mtrajcp
回答日時：2024/06/29 22:59

n=12の約数

{1,2,3,4,6,12}の個数は6=√36=√(3*12)=√(3n)
n=12

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No.5

回答者： mtrajcp
回答日時：2024/06/28 17:11

n=12 のとき

n=12の約数
{1,2,3,4,6,12}の個数は6=√36=√(3*12)=√(3n)
n=12

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No.4

回答者： stomachman
回答日時：2024/06/28 16:40

[1] nを素因数分解すると

　　n = Π{k = 1〜m} (p[k]^q[k])

だとしましょう。ただしp[1], p[2], …, p[m]は互いに異なる素数、q[1], q[2], …, q[m]は1以上の整数、Πは乗積の記号です。nの(正の)約数（1とnを含む）の個数をN(n)としますと、
　　N(n) = Π{k = 1～m}(q[k] + 1)
以下では {k = 1～m} というところは略して書くことにします。

[2] さて、
　　N(n) ≧ √(3n)
であるようなnとは、すなわち
　　(N(n'))² ≧ 3n
であるようなnであり、代入すれば
　　Π(q[k] + 1)² ≧ 3Π(p[k]^q[k]) …(1)
ですけど、そういう(p, q)を見つけたいわけです。でも、そんなnが、もしかして無限個あったりはしないでしょうか。　

[2a] (1)が成り立っていないとき、すなわち
　　　Π(q[k] + 1)² ＜ 3Π(p[k]^q[k])
であるとき、p[j] (jは1〜mのうちのどれか）を1だけ大きな値
　　p'[j] = p[j] + 1
に変えたものをn'とすると、nに比べて左辺右辺はそれぞれ何倍になるか。n'はどんな時に(1)を満たす可能性があるか。

[2b](1)が成り立っていないとき、q[j] (jは1～mのうちのどれか）を1だけ大きな値
　　q'[j] = q[j] + 1
に変えたものをn'とすると、nに比べて左辺右辺はそれぞれ何倍になるか。n'はどんな時に(1)を満たす可能性があるか。

[2c](1)が成り立っていないとき、n' = r n (rはp[1]～p[m]のどれとも違う素数）にしたら、nに比べて左辺右辺はそれぞれ何倍になるか。n'はどんな時に(1)を満たす可能性があるか。

　このあたりを検討すると、(1)を満たすnが無限個あったりはしない、ということやら、(1)を満たす例がどんなものでなくてはならないか、という条件やらがわかる。

[3] で、あとは総当たりだな。ただし、「nが1,2,3, …のとき」という意味での総当たりじゃなくて、小さい順に素数を並べて調べるんですけどね。