No.7ベストアンサー
- 回答日時:
t = 0 - 2h と置くと、
lim[h→0] { f(c+4h) - f(c-2h) }/h
= lim[h→0] { f(t+6h) - f(t) }/h
= lim[h→0] { f’(t)・6h + R }/h ;ただし lim[h→0] R/h = 0
= 6 lim[h→0] f’(t).
は、f(x) が x = c の近傍で微分可能であるかぎりは成り立つ。
問題は、
lim[h→0] f’(t) = lim[t→0] f’(t) = f’(c)
が常に言えるとは限らないこと。
例えば、
f(x) = x^2 sin(1/x), f(0) = 0, c = 0
の場合を考えてみよう。
この f(x) は、x = 0 の近傍で微分可能で
f’(x) = 2x sin(1/x) - x^2 sin(1/x) (-1/x^2)
= 2x sin(1/x) + sin(1/x)
となるが、
lim[t→0] f’(t) は収束しない。
この例の場合も
f’(0) = lim[h→0]{ h^2 sin(1/h) - 0 }/h
= lim[h→0] h sin(1/h) = 0
は収束して
lim[h→0] { f(0+4h) - f(0-2h) }/h = 6 f’(0)
は成り立つのだが、
計算過程で lim[t→0] f’(t) を経由しない考え方
が必要になる。
No.8
- 回答日時:
少し違う。
例えばf(c)が未定義の場合、x=c微分不能だけど
lim[h→0](f(c+4h)-f(c-2h))/(6h)は収束する場合が有ります。。
また、f(x)=1 (x≦c)、f(x)=x+1-c (x≧c)
はx=cで微分不能だけど、lim[h→0](f(c+4h)-f(c-2h))/(6h)=4/6
No.6
- 回答日時:
lim{h→0}{f(c+4h)-f(c-2h)}/h
=lim{h→0}{4{f(c+4h)-f(c)}/(4h)+2{f(c-2h)-f(c)}/(-2h)}
=4f'(c)+2f'(c)
=6f'(c)
t=c-2hとおくと,c+4h=t+6hになるので
lim{h→0}{f(c+4h)-f(c-2h)}/h
=lim{h→0}6{f(t+6h)-f(t)}/(6h)
=lim{h→0}6f'(t)
=lim{h→0}6f'(c-2h)
=6f'(c)
あってる
No.3
- 回答日時:
h→0のとき、
(f(c+4h)-f(c-2h))/h
=(f(t+6h)-f(t))/h
=6{(f(t+6h)-f(t))/(6h)} ←←←
=→6f'(c)
というように、←←←部分を追加するべきでしょうね
No.2
- 回答日時:
違います、同値変形しないと・・・。
f(t+6h)-f(t)とするなら、分母は6hでないといけないし・・・。
分子=f(c+4h)−f(c-2h)=(f(c+4h)-f(c)) - (f(c-2h)-f(c))
分母はこれに合わせて、前半は4h、後半は-2hになる様にする訳だから。
(f(c+4h)-f(c))/h = [(f(c+4h)-f(c))/4h] ×4
(f(c-2h)-f(c))/h = [(f(c-2h)-f(c))/-2h] ×(-2)
あとは各々を微分定義に従って求める
No.1
- 回答日時:
それだと、h→0 のとき t→c を使ってしまっているので、
f’(x) が x=c で連続でないときマズい。
f’(c) が存在すれば f(x) は x=c で連続だけど、
f’(x) が x=c で連続だとは限らないよね。
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