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ちょっと文章でわかるかどうか分かりませんが、図を書いて検証しながら読んでください。
正方形EFGHについて、線分EFをFの方向に延長して、同じく線分PHをPの方向に延長した直線との交点を取り、これをIとします。
1)△IPFと△IHEを考えます。
2つの三角形が相似だということはすぐに分かると思います。そしてFP:EH=1:2ですから、IF:IE=1:2(IF=FE)となります。
2)△EIQと△RHQを考えます。
これも錯角、対頂角で2つの三角形の角度は等しくなりますので相似です。そしてIP=PH、PQ=QHから、IQ:QH=3:1となり、その結果IE:HRも3:1となります。IE=4cmですからHR=4/3cmです。
3)△ERHを考えます。
RH=4/3cm、HE=2cmから三平方の定理により、辺ERの長さは、√((4/3)^2+2^2)=(2√13)/3cmとなります。
これで面積を求める△DERの1辺の長さが分かりました。ここで、
4)ER=RD=(2√13)/3cmというのは図形を見ると分かると思います。そしてDEは1辺2cmの正方形の対角線ですから2√2cmになります。つまり底辺2√2cm、残る2辺が(2√13)/3cmの二等辺三角形ということになります。
ということは
5)△DERにおいて辺DEの中点をJとした時に、△RJEは∠Jを直角とする直角三角形となります。ER=(2√13)/3、JE=DE/2=√2ですので、三平方の定理より、RJ=√(((2√13)/3)^2-(√2)^2)=(√34)/3
そして、
6)RJは△DERの高さになりますので、求める△DERの面積は2√2×(√34)/3×1/2=(2√17)/3cm2となります。
詳しく解いてきましたが、おそらく最初の点Iの取り方が分かればあとは比較的簡単に出てくると思います。
なお、作図すれば分かりますが、ER⊥DQではありませんので、DQは△DERの高さではありません。
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