中学校で習う順序

中学校では、中2で合同を、中3で相似を、それぞれ習うことになっています。

しかし、合同とは、「相似な図形のうち大きさ（辺の長さ）が同じもの」です。
証明も大部分が同じであり、むしろ相似のほうが、例えば二角相当であれば二つの条件を述べれば済むため、簡単に済むことが多いです。
　相似＋辺の長さが同じ→合同
のほうが生徒にも分かりやすいように思いますし、実際に合同の証明問題を解く場合にも角が絡まない問題はほとんど見ることができません。


なぜ「相似→合同」ではなく、「合同→相似」なのでしょうか？
文部省か誰かが決めたから、という思考停止以外の、合理的な説明をお願いします。

No.8 ベストアンサー 回答者： felicior 回答日時： 2011/01/12 22:56

ふたつの図形が合同であるとは、片方の図形に

　平行移動（並進）
　回転移動（回転）
　対称移動（鏡映）
のいずれか、又はその組み合わせによる変換（合同変換）を施した時に
もう片方の図形が得られる場合、と定義されます。
相似の定義は、上の三つに加え
　スケール変換（拡大・縮小）
を許容したものです。相似の方が許された変換が一つ多いです。
つまり、合同は図形をはさみで切って重ねてみるだけでチェックできるのに対し、
相似はさらに定規もしくは拡縮可能なコピー機が必要です。
（もちろん厳密にやろうとすると座標をとって行列計算することになりますが。）

一方、三角形の合同条件・相似条件は定義ではなく定理です。
条件が成立した場合、どうして上の定義が満たされるのか自明ではありません。
しかしこれが成り立つことを（納得するかどうか別として）認めれば、
合同・相似に関する厳密な証明をすることができます。
ただ、この合同条件・相似条件は三角形に与えられた特別なものです。
多角形なら三角形に分割できますが、円や楕円など曲線を有する図形では
中学の範囲では定義に従ってチェックするしかありません。
（念のために、全ての円が互いに相似という事実もまた定理です。）

つまり、中学ではあくまで厳密な証明の形式に初めて慣れさせるという目的で、
三角形を題材にして合同・相似条件を扱っているわけですから、
相似条件の方に「二角相等」という手軽で有用な相似条件があるというだけで
一般的に合同よりも相似の方がわかりやすいと判断できるかは疑問です。
たとえ生徒が「相似の方が分かりやすい」と言っているとしても、
それが一般的な「合同・相似の概念」について言っているのか、それとも
「三角形に関する証明問題」について言っているのかは検証が必要です。

蛇足になりますが…
私が懸念するのは、三角形の合同・相似条件を習った生徒が、
その後「合同・相似」とだけ聞いて
「合同とか相似ってあの『二組の辺とその間の角が…』ってやつだよね？」
のように「三角形に関する証明問題」しか思い浮かべなくなってしまうことです。
もっと導入段階で楕円の合同とかハート形の相似とかたくさんやるべきと思います。
厳密なこと抜きで、はさみだけでチェックできる、トレーシングペーパー
だけで書ける合同の方が相似より遙かに簡単だと私は思います。

この回答へのお礼

本来的には合同も相似も難しい概念であることは承知しています。

本来は厳密な話であるにもかかわらず、三角形等の中学の範囲に限定した上では曲線を含む図形の合同・相似は扱いませんから、単に角度だけの問題に見える、したがって限定した話として合同や相似が出てきているため、相似のほうが簡単に見える、ということですね。

なるほど、と思います。


> 中学ではあくまで厳密な証明の形式に初めて慣れさせるという目的で、三角形を題材にして合同・相似条件を扱っている

証明の形式論として、
　１～３の条件から、３辺相等が成り立つ。したがって合同である。
といったような論法は、合同や相似は好例であることは確かですね。


> たとえ生徒が「相似の方が分かりやすい」と言っているとしても、それが一般的な「合同・相似の概念」について言っているのか、それとも「三角形に関する証明問題」について言っているのかは検証が必要です。

三角形の証明問題について言っています。
一般的な合同・相似概念は、学校で教えていないか、授業時間からいって教えていても触るだけですぐに三角形の合同条件・相似条件からの説明に入らざるを得ないため、ほとんどといって良いほど知らないでしょう。試験に出た事例もほとんど見たことがありませんから、精々「そういえばあったね」レベルの話でしょう。

お礼日時：2011/01/12 23:53

No.10 回答者： shenyi401 回答日時： 2011/01/13 22:21

No4です。

専門家ではないので、イメージで書きます。

子供にとって、ぴったり重なる方（合同）が、形は同じでも大きさがちがう方（相似）より
受け入れやすいのではいでしょうか。

受け入れやすいことを優先したのだろうと思います。
結果として、証明で条件が複雑になってしまうのは仕方のないことなのでしょう。

この回答へのお礼

> 子供にとって、ぴったり重なる方（合同）が、形は同じでも大きさがちがう方（相似）より受け入れやすいのではいでしょうか。

少なくとも私が見た限り、「コピー機」で100%とするか拡大・縮小をするか、という話だけで充分生徒は理解します。
なので、私の見た限りにおいては、受け入れやすい度合いは、大体変わらないようです。

お礼日時：2011/01/16 21:29

No.9 回答者： jmh 回答日時： 2011/01/13 00:32

「フニャフニャ」の件については #8 feliciorさんのお答えを見てください orz。

> 実際、相似をやって初めて合同が分かるようになる生徒も少なくありません…
>
そうやって行ったり来たりして、数学を学ぶのはいいことだと思います。

No.7 回答者： sanori 回答日時： 2011/01/12 16:27

たしかに回答になっていませんでしたね。

失礼しました。
「文部省か誰かが決めたから、という思考停止以外の」という限定でしたので、自分の考えを述べて「合理的な理由は無い」という回答をしたつもりでした。

しかし、私がどう考えようと、ここにどういう回答が並ぼうと、文部省か誰かが（学習指導要領を）決めたからというのが理由だと思いますが。・・・・・と、いつも一言多い私です。

この回答へのお礼

> 「合理的な理由は無い」という回答をしたつもりでした。

なるほど。それは失礼しました。
特に理由はないが、単に並んだ順がそうなっていた、ということですね。

> ここにどういう回答が並ぼうと、文部省か誰かが（学習指導要領を）決めたからというのが理由だと思いますが。

しかし、私は、何らかの理由があったからこそ、合同→相似であると考えます。そこまでいい加減だとは信じられませんし、もしそうであれば相似→合同の時代があってもよさそうです（同じ年度に習っていた時期もありますから）。しかしそのような時代は見受けられません。
したがって、私にはわからない何らかの理由があると考え、この質問をしました。

お礼日時：2011/01/12 23:24

No.6 回答者： noname#157574 回答日時： 2011/01/12 16:24

　No.3です。

小学校においては，5年で三角形の合同条件を学び，6年で図形の拡大・縮小（相似変換）を学びます。

この回答へのお礼

質問の答えになっていません。

お礼日時：2011/01/12 23:18

No.5 回答者： sanori 回答日時： 2011/01/12 13:50

こんにちは。

なるほどと思いました。

＞＞＞合同とは、「相似な図形のうち大きさ（辺の長さ）が同じもの」です
そうですね。

ほかには・・・
・比例は、一次関数のうち定数項がゼロのもの
・三平方の定理は、余弦定理でcosθがゼロのもの
・掛け算は、足し算の回数をまとめて表示したもの。
・指数関数は、掛け算の回数をまとめて表示したもの。
というのがあり、これらは、順番を変えると大変ですが、合同と相似となると大変とまでは言えませんね。
いきなり同時に教えてもよさそうだと思います。
色んな形を黒板に貼って、「これとこれは合同」「これとこれは相似」と生徒に答えさせれば、すぐわかりそうです。
見たまんまですからね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
しかし、質問の答えになっていないですね。

お礼日時：2011/01/12 15:53

No.4 回答者： shenyi401 回答日時： 2011/01/12 11:49

特殊なものから、汎用性の高いものへと学んでいくのは普通だと思いますが。

この回答へのお礼

> 特殊なものから、汎用性の高いものへと学んでいくのは普通だと思いますが。

普通は
１．簡単化のために厳しい条件を課す
２．一般化のために条件を緩める
というプロセスを踏むわけです。

その意味で、比例の世界から一次関数の世界へのプロセスは、まさに回答者さんのおっしゃる通りだと思います。


しかしながら、合同は比例より厳しい条件を課し、それが何らの簡単化をも引き起こさない、と私は考えています。簡単にいえば、単なる特殊ケースです。

したがって、あまり普通のプロセスとは考えにくく、この質問をすることになりました。

お礼日時：2011/01/12 15:49

No.3 回答者： noname#157574 回答日時： 2011/01/12 07:02

学習指導要領の変遷

1962年度から：合同・相似とも2年（相似比と面積比・体積比の関係も2年）
1972年度から：合同1年，相似2年（相似比と面積比・体積比の関係も2年，また合同変換・相似変換を含む）
1981年度から：合同・相似とも2年（相似比と面積比・体積比の関係は3年）
1993年度から：同上
2002年度から：合同2年，相似3年（相似比と面積比・体積比の関係は高等学校数学I）
2012年度から：合同2年，相似3年（相似比と面積比・体積比の関係も3年）
個人的には1962年度から施行された版がよいと思います。この頃は，今より図形領域に掛ける時間が長かったですから。

この回答へのお礼

質問の答えになっていません。

お礼日時：2011/01/12 15:40

No.2 回答者： noname#164823 回答日時： 2011/01/12 03:03

簡単に言うと「比」の計算をしなくていいので、合同を

先にやるのでしょう。

合同なら、単純に辺の長さが同じなので、計算する必要が無いですよね。

中学生は、大方が比や割合が苦手です。初めから相似をやったら、
比の計算をしなくてはならないので、難しくて訳が分からなくなる生徒がいます。

ですから、先に合同を理解し、これを拡大・縮小したものが相似だと
教えた方が分かりやすいからです。そして、中点連結の定理に行く訳です。

比例を先にやり、一次関数を次にやるのと同じではないでしょうか。

この回答へのお礼

> 簡単に言うと「比」の計算をしなくていいので、合同を先にやるのでしょう。

とありますが、比の計算は既に小学校6年生で習う範囲です。
また、比例ということで中1でも習う範囲なので、中2で比をやらないために合同を先にする、というのは理論的に合いません。

> そして、中点連結の定理に行く訳です。

中点連結定理は、平行四辺形を習っていれば比例を知らなくとも導出できます。

お礼日時：2011/01/12 15:40

No.1 回答者： jmh 回答日時： 2011/01/12 01:31

「切り取って重ねたらぴったり合う」＝「合同」の方が、直感的で簡単な概念だと思います。

特にフニャフニャした図形では。

この回答へのお礼

ごく個人的な感性として、ですが、直観的な概念としては合同も相似も同じようなものです。

三角形であれば「三角形の全ての角が同じ＝相似」から入ればよく、平行線と比を先にやっておけば残りの二つ（一片比両端角相当、二辺比挟角相当）もそんなに難しくないと思います。

実際、相似をやって初めて合同が分かるようになる生徒も少なくありませんし・・・。

お礼日時：2011/01/12 15:21