正四角錘

正四角錘Ｐ-ＡＢＣＤで、底面の正方形の一辺が6、PA＝PB＝PC＝PD＝9
(1)この四角錘の内接球の半径を求めよ
(2)PB、PDの中点をそれぞれQ、Rとする この四角錘をC、Q、Rを通る平面で切ったときの切断面の面積を求めよ

答え (1)、(6√14-3√7)/7 (2)、3√30
解き方を教えてください。
解説が詳しいとありがたいです。

No.11 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/03/18 15:17

△PTV∽△PAUですからPV/PU=TV/AU=PT/PA=3/9=1/3

これはなぜでしょうか
＞「∽」は相似記号です。
「△PTV∽△PAU」は「△PTVと△PAUが相似である」ことを
表しています。
従って両三角形の対応する辺の比は等しくなります。

なお、以下のサイトに三角形の相似条件が説明されています。
そのうちの「二角相等(対応する 2 組の角の大きさがそれぞれ
等しい) が△PTVと△PAUが相似であることの根拠です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92% …

この回答へのお礼

PA:PT＝3:1が他の辺にも使えるということですね
今までありがとうございました

お礼日時：2012/03/18 15:28

No.9 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/03/18 10:13

PT/(9-PT)*1*1＝1

2PT＝9
PT＝9/2
となりませんか？
＞PT/(9-PT)*AC/CU*US/SP=PT/(9-PT)*(6√2/3√2)*1=1
2PT=9-PT、PT=3 になります。

＞あとは直角三角形PAUで三平方の定理を使ってSTを算出します。
これはどうやるのでしょうか？
＞直角三角形PAUについて、PA=9、AU=3√2 から
PU^2=9^2-(3√2)^2=81-18=63、PU=3√7　になります。
点TからPUに垂線を下ろし、その足をVとすると、
△PTV∽△PAUですからPV/PU=TV/AU=PT/PA=3/9=1/3。
従ってPV=PU/3=√7、TV=AU/3=√2 になります。
次に直角三角形STVについて、
SV=PS-PV=PU/2-PV=(3√7)/2-√7=(√7)/2 になります。
従ってST^2=TV^2+SV^2=(√2)^2+(√7)^2/2^2=2+7/4=15/4
ST=√(15/4)=(√15)/2 になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます
最後に
△PTV∽△PAUですからPV/PU=TV/AU=PT/PA=3/9=1/3
これはなぜでしょうか

お礼日時：2012/03/18 10:24

No.8 回答者： ferien 回答日時： 2012/03/17 23:38

正四角錘Ｐ-ＡＢＣＤで、底面の正方形の一辺が6、PA＝PB＝PC＝PD＝9

＞(1)この四角錘の内接球の半径を求めよ
正四角錐の体積を２通りで表す。

正四角錐のＰからＡＢＣＤにおろした垂線の足をＨとする。
△ＰＡＨを考えると、角ＰＨＡ＝９０度より、直角三角形
ＰＡ＝９，ＡＨ＝６ルート２／２＝３√２（正方形の対角線の半分）より、
ＰＨ^2＝ＰＡ^2－ＡＨ^2＝９^2－（３√２）^2＝６３より、高さＰＨ＝３√７
体積＝（１／３）×６×６×（３√７）＝３６√７

内接球の半径をｒとすると、正四角錐の５つの面を底面、高さをｒとした四角錐と三角錐４つを
足したものが正四角錐の体積
△ＰＡＢのＡＢの中点をＭとすると、ＰＭが三角形の高さで、ＡＭ＝３，ＰＡ＝２だから、
ＰＭ^2＝ＰＡ^2－ＡＭ^2＝９^2－３^2＝７２より、ＰＭ＝６√２
△ＰＡＢの面積＝（１／２）×６×６√２＝１８√２　
体積＝（１／３）×６×６×ｒ＋４×（１／３）×１８√２×ｒ
　　＝（１／３）×（３６＋７２√２）ｒ
よって、（１／３）×３６（１＋２√２）ｒ＝３６√７
（１＋２√２）ｒ＝３√７
ｒ＝３√７／（２√２＋１）
　＝３√７（２√２－１）／（８－１）
　＝(6√14-3√7)/7

＞(2)PB、PDの中点をそれぞれQ、Rとする この四角錘をC、Q、Rを通る平面で切ったときの切断面の面積＞を求めよ
ＲＱの中点をＧ，ＣＧの延長とＰＡの交点をＥとする。
Ｅから対角線ＡＣにおろした垂線の足をＦとする。
△ＰＤＢで、Ｑ，ＲはＰＢ，ＰＣの中点だから、中点連結定理より
ＲＱ//ＤＢより、ＰＧ：ＧＨ＝ＰＱ：ＱＢ＝１：１から、ＧＨ＝ＰＨ／２＝３√７／２
ＲＱ＝（１／２）ＤＢから、ＲＱ＝６√２／２＝３√２
ＡＨ＝ＣＨ＝ＡＣ／２＝６√２／２＝３√２，ＣＦ＝ｘ，ＥＦ＝ｙとする。
△ＥＦＣ相似△ＧＨＣより、
ＥＦ：ＧＨ＝ＣＦ：ＣＨより、
ｙ：３√７／２＝ｘ：３√２
（３√７／２）ｘ＝（３√２）ｙ　……（１）
△ＰＡＨ相似△ＥＡＦより、
ＡＨ：ＡＦ＝ＰＨ：ＥＦ　ＡＦ＝ＡＣ－ＣＦ＝６√２－ｘより、
３√２：（６√２－ｘ）＝３√７：ｙ
３√７（６√２－ｘ）＝３√２ｙ　……（２）
（１）（２）を連立方程式で解くと、
ｘ＝４√２，ｙ＝２√７　よって、ＣＦ＝４√２，ＥＦ＝２√７
△ＥＦＣで、
ＣＥ^2＝ＣＦ^2＋ＥＦ^2より、
　　　＝（４√２）^2＋（２√７）^2
　　　＝６０より、ＣＥ＝２√１５
切り口四角形ＥＱＣＲ＝△ＣＱＲ＋△ＥＱＲ
　　　　　　　＝（１／２）×ＱＲ×ＣＧ＋（１／２）×ＱＲ×ＥＧ
　　　　　　　＝（１／２）×ＱＲ×（ＣＧ＋ＥＧ）
　　　　　　　＝（１／２）×ＱＲ×ＣＥ
　　　　　　　＝（１／２）×３√２×２√１５
　　　　　　　＝3√30

図を描いて考えてみて下さい。

この回答へのお礼

解説ありがとうございます

お礼日時：2012/03/18 08:03

No.7 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/03/17 20:15

メネラウスの定理を習っておらず、検索してもよく分からないので教えてください

>
次のサイトに証明付で分かり易い説明があります。
http://yosshy.sansu.org/theorem/ceva_mene.htm

この回答への補足

ここでまずメネラウスの定理によりPTを求めます。
{PT/(9-PT)}*(AC/CU)*(SU/PS)=1

PT/(9-PT)*1*1＝1
2PT＝9
PT＝9/2
となりませんか？

補足日時：2012/03/18 08:53

この回答へのお礼

理解できました ありがとうございます
＞あとは直角三角形PAUで三平方の定理を使ってSTを算出します。
これはどうやるのでしょうか？

お礼日時：2012/03/17 20:48

No.6 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/03/17 07:59

四角錐は立派な日本語です。

ほかに「正方錐」、「長方錐」などの呼び方もあります。
次のサイトに詳しいので、ご参考までに。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E8%A7%92% …

この回答への補足

補足質問なのですが

ここでまずメネラウスの定理によりPTを求めます。
{PT/(9-PT)}*(AC/CU)*(SU/PS)=1でPT(=3)が得られます。

メネラウスの定理を習っておらず、検索してもよく分からないので教えてください

補足日時：2012/03/17 16:49

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2012/03/17 13:15

No.3 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/03/15 22:42

残りを回答します。

(２)の解き方
QRは二等辺三角形PBDから求めます。
△PBDはPB=PD=9、BD=正方形ABCDの対角線の長さです。
切断面の一部△CQRはCQ=CRの二等辺三角形。CQ(=CR)は
二等辺三角形PBC(PB=PC=9,BC=6,QはPBの中点)から求めます。
次に切断面の残りの部分を考えます。
QRの中点をS、CSの延長線とPAの交点をT、PSの延長線と
ACの交点をUとします。この時に出来る二等辺三角形TQ(S)R
が切断面の残りの部分になります。QRは分かっているので、
STが分かれば△TQRの面積が得られます。STを求めるために
△PAC(PA=PC=9、AC=正方形ABCDの対角線の長さ)を考えると、
PUがこの二等辺三角形を二分する垂線であり、点SがPUの中点
で、CSの延長線上にTがあります。
ここでまずメネラウスの定理によりPTを求めます。
{PT/(9-PT)}*(AC/CU)*(SU/PS)=1でPT(=3)が得られます。
あとは直角三角形PAUで三平方の定理を使ってSTを算出します。
以上から△CQRの面積と△TQRの面積が求まるので、それらを
加えると３√３０になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2012/03/16 16:07

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/03/15 17:28

1対1対応の演習(東京出版)の例題。

あっちこっちで　取り上げられている有名問題。
ベクトルでもいいし、初等幾何でメネラウスの定理の補助線を引いても良い。

http://search.yahoo.co.jp/search?p=%E5%9B%9B%E8% …

この回答へのお礼

1対1が元だったのですね ありがとうございます

お礼日時：2012/03/15 19:53

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/03/15 17:17

とりあえず（１）の解き方は以下の通り。

内接球の中心と各頂点を結ぶと４個の三角錐と
１個の正四角錘が出来ます。この５個の体積の
合計が元の正四角錘の体積になります。
内接球の半径は、元の正四角錘の各面（５面）と
直交するので、４個の三角錐と１個の正四角錘
のそれぞれの高さが、内接球の半径と等しくなります。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2012/03/15 19:53