相似比と面積比について

よく相似な図形の時、相似比がm:nなら面積の比はmの2乗:nの２乗と言いますが、
ある問題で、「ＡＦ＝８　ＦＨ＝１２　三角形AFHの角AFHの二等分線と線分ＡＨの交点をＰとした時、△AFP：△AFHの面積比を求めよ」とあって、△AFPと△AFHは高さが等しいからAP：PH＝２：３で、相似比がm:nなら面積の比はmの2乗:nの２乗だから、△AFP：△AFH＝４：２５とやってしまって、答えは２：５となっていてなんでこうなるのかわからなくて困っています
数学は苦手なもので(> <)
教えてください。お願いします！！

No.1 回答者： pasocom 回答日時： 2008/05/03 14:56

結論から言うと「相似」は関係ありません。

線分FPを使って三角形AFPを三角形FPHに重ねてみると一発でわかります。
二つの三角形は「同じ高さで、底辺の長さが8：12＝2：3」なのです。
よって、この二つの三角形の面積比も2：3です。相似ではありません。
すると答えの面積比2：5が導かれるのです。

No.2 ベストアンサー 回答者： b_bb 回答日時： 2008/05/03 18:10

相似といったって辺の長さを比という無次元量であらわしているだけなので普通に面積の公式が使えます。

つまり、相似比が1:2であるとき
対応する部分の長さがすべて1：2であるというわけですが
当然そうなると
底辺も高さもそれぞれ1：2になるので
1*1*1/2：2*2*1/2＝1：4となって相似比の二乗が面積比となっているわけです。

で、底辺の比が2：5で高さが1：1である時点で、この二つの三角形は相似ではありません。（対応する部分の長さの比がすべて等しいのを掃除というので）

で、あとは三角形の面積の公式にぶちこんであげて
1*2*1/2：1*5*1/2＝2：5となるわけです。

相似のときの面積比が二乗であろうが、相似じゃないときの面積比であろうが、すべては三角形の面積の公式から導かれているものですから基礎に立ち返ってそれを使ってください。