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数学の問題の質問です

実数a, b, cが
a+b+c=8, a²+b²+c²=32
を満たすとき、実数cの最大値を求めよ。

これを立体的に考えてaとbが等しい時がcの最大であるらしいのですが、どういうことかよくわからないので教えてください。

gooドクター

A 回答 (4件)

a>0、b>0のとき、


相加平均と相乗平均の関係より、
(a+b)/2 ≧ √(ab) (等号はa=bのとき)
不等式の両辺を2乗すると、
(a+b)^2/4 ≧ ab
(a+b)^2 -4ab≧ 0 (等号はa=bのとき)

ここで、a^2+b^2+c^2=32より
c^2=32-(a^2+b^2)
= 32-((a+b)^2 -4ab)
((a+b)^2 -4ab) の部分が最小のとき
(すなわち、a=bのとき最小値0)、
c^2は最大になるから…
ということだと思います。
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この回答へのお礼

下から6行目から5行目のところの計算が間違っていると思いますがそもそもこの問題で勝手にゼロより大きいと言って相加相乗平均を使えるのですか?

お礼日時:2020/07/15 23:18

「平面①を横から見る」は分かりにくかったかもしれません。

「平面a=bで球を縦に真っ二つにして横から見る」のほうが伝わるかも。
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「立体的に考える」とすると、


a+b+c=8 …①は、abc空間上で
「3点(8,0,0) 、(0,8,0) 、(0,0,8)を通る平面」
a^2+b^2+c^2=32 …②は、
「原点を中心とする、半径√32(=4√2)の球の表面」だから、この2つを満たす点の集合は、
「球②を平面①で輪切りにした断面(円になる)の円周上」ってことになります。
その円の一番高い位置が、cの最大値。
その断面の「一番高い位置のab平面からの距離(=cの最大値)」を目視しようとしたときに、
平面①を横から見ようとすると思いますが、
一番よく見える位置が 「平面 a=b (原点を通りc軸に平行な平面、上から覗くと直線a=bに見える。)に垂直に立ったとき」
…ということなのだと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。平面を横から見るとはどのように見るのですか?

お礼日時:2020/07/16 07:55

立体的に考えるというのはわかりませんが、別解です。



a+b+c=8……①
a²+b²+c²=32……②

①より、
a=8-b-c……③

③を②に代入
(8-b-c)²+b²+c²=32
64+b²+c²-16b-16c+2bc+b²+c²=32
2b²+2c²-16b-16c+2bc+32=0
b²+c²-8b-8c+bc+16=0
b²+(c-8)b+c²-8c+16=0……⓸

この式をbの2次方程式とみると、bは実数なので、判別式D≧0
D=(c-8)²-4(c²-8c+16)
=c²-16c+64-4c²+32c-64
=-3c²+16c

-3c²+16c≧0
c²-(16/3)c≦0
c(c-16/3)≦0
0≦c≦16/3

これより、cの最大値は、
c=16/3……⑤

⓸に代入
b²+(16/3-8)b+(16/3)²-8(16/3)+16=0
b²-(8/3)b+256/9-128/3+16=0
9b²-24b+256-384+144=0
9b²-24b+16=0
(3b-4)²=0
b=4/3……⑥

⑤、⑥を③に代入
a=8-4/3-16/3
=4/3

cの最大値は16/3(a=b=4/3 のとき)
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