AB=BC＝１、AC＝√２の直角三角形の面積を二等分する直線の長さの最小値

AB=BC＝１、AC＝√２の直角三角形の面積を二等分する直線の長さの最小値を求める問題の解法はこちらで大丈夫でしょうか？


「面積を二等分する」という場合、この問題文から考えられるのは、

（1）ACの中点とBを結ぶ
（2）2次方程式を使い、最小値をｘと置き、ｘの値を求める

しかし、いずれの場合も、「最小値」を求めるため、線は直線となる。


（1）
三角形の中点を通る線は、三角形の面積を二等分するため
仮に、この問題でACの中点をMとすると、
AM=CMが成り立つ
つまり、底辺の長さは等しい
高さはこの場合BMなので、底辺と高さが等しいため、面積は等しい

この場合、AMの長さを求めると
AC＝√２より、
AM=０．５√２


（2）2次方程式を使う
ABと平行（つまり、BCと垂直）になる線を引く。
この直線をPQと置く。

すると、図の三角形ABCは直角二等辺三角形なので、
三角形ABC（相似）三角形PQC
になるため、
AB=BCより、PQ=QC

ここで、PQをｘと置くと

三角形PQCの面積は
PQ・CQ・0.5より、
ｘ・ｘ・0.5
と、表せる。

台形ABOPの面積は
PQ=ｘ、AB＝１
QB=CB-CQ
よってQB=１－ｘ
であるため、

(AB+PQ)・QB・0.5
＝（１＋ｘ）・（１－ｘ）・0.5

ここで、「面積を二等分する」ため、

この図形の面積は等しくならなければいけないため、

0.5・ｘ・ｘ＝0.5（１＋ｘ）（１－ｘ）

両辺を2倍して

ｘの2乗＝(1+x)(1-x)

ここで、因数分解と展開の公式
(x-a)(x+a)=（ｘの二乗）－（ａの二乗）より、

ｘの二乗＝１－ｘの二乗

移項して、

２・ｘの二乗＝１

ｘの二乗＝０．５

ｘ＝プラスマイナス０．２５


ここで、（１）の答えである０．５√２と、（２）を比べると

√２＞１より、

（２）のほうが値が小さいため、（２）が答えとなる。


よって、答えは０．２５

No.6 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/09/24 05:35

下図を見ながら計算して下さい。

因みに質問の(2)は計算間違い。

図の水色3角形の面積を1/4にする時の線分bPの最小値を求めれば答えになる。

この図はx軸とy軸を入れ替えても同じになるから、bがy軸上にある場合だけを考えれば良い。

赤線：y=-x+1
青線：y=ax+b (0≦a, 0≦b<1)と置く

赤線と青線の交点Pは計算すると{(1-b)/(a+1), (a+b)/(a+a)}

線分bPの長さ：√{(1-b)²/(a+1)² + a²(1-b)²/(a+1)²} ①

水色3角形の面積：(1-b)²/2(a+1)
これを1/4にするには、(1-b)²/2(a+1)=1/4　∴(1-b)²=(a+1)/2

①に代入すると
bP=(1/√2)√{(a²+1)/(a+1)}　②

f(a)=(a²+1)/(a+1)と置いて、aで微分すると、a=√2-1の時に最小値を採る事が解る。

a=√2-1を②に代入すると、√(√2 - 1)

最小値=√(√2 - 1) = 0.643594253････

No.5 回答者： ji6 回答日時： 2017/09/23 23:54

分割した三角形の2辺の長さをp,qとして, 三角形の面積Sをp,qを用いて表す。

S=l/4 より、p,qの関係式が得られる。
これを用いて、面積を2等分する線分の長さをrとして、r^2を求める。
相加平均と相乗平均の関係より、r^2の最小値及びそのときのp,qの値が定まる。

この手順で解いてみました。ノートは画像で添付しました。

No.4 回答者： he-goshite- 回答日時： 2017/09/23 23:45

No.3回答者です。

失礼しました。
候補として挙げるのに，
(5) 角Bの二等分線に垂直な（辺ACに平行な）直線
をぬかしました。これも明らかに(1)より長くなります。

なお，(4)は「斜めに切る線」に相当します。

No.3 回答者： he-goshite- 回答日時： 2017/09/23 22:54

（AB=BC＝１、AC＝√２の）直角三角形ABCの面積を二等分する直線として候補になるのは，

(1) 頂点Bから辺ACの中点におろした垂線
(2) 頂点Aから辺BCの中点に引いた直線または頂点Cから辺ABの中点に引いた直線
(3) 辺ABに平行まはは辺BCに平行で面積を二等分する直線
(4) 角Aの二等分線に垂直な直線または角Cの二等分線に垂直な直線
です。
　
(1)と(3)とは等しいことが分かりました。また，(2)は，明らかに(1)より長いので，
(4)を求めてこれと(1)または(3)とを比較して短い方を答えとしましょう。

No.2 回答者： usa3usa 回答日時： 2017/09/23 08:40

＞こちらで大丈夫でしょうか？

最小値を求める問題なので、２つの場合しかチェックしていないので、ダメでしょう。
No1さんの指摘のとおり、
　ABに平行（BCに平行でも同じ）以外に斜めに切る場合
も検討する必要があると思います。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/09/22 20:41

(2)が計算間違い

ｘの二乗＝０．５
x²=1/2
x=1/√2 = √2/2

(1)も0.5√2=√2/2

(1)=(2)だね。

ABに平行（BCに平行でも同じ）以外に斜めに切る場合もある。
この場合との比較も必要。