公立高校入試の図形問題 円と三角形

下の図のように　円周上に点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄがあり、三角形ＡＢＣは正方形で、ＣＤ＝１、ＡＤ＝２，ＢＤ＝３センチＭ．

また、線分ＡＣと線分ＢＤの交点をＥとする。

（１）角ＡＤＢ＝？
（２）塩分ＤＥの長さ＝？
（３）線分ＢＣ＝長さ＝？
（４）三角形ＡＢＣの面積＝？

なるべくシャープで明快な解説をお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2010/01/11 21:59

＃１の回答は、

＞△AED ∽ △BEC より、
＞AD : BC = DE : EC
＞2 : x = 2/3 : y
＞2y = 3x/2　…(I)
のところの最後の行で案の定計算間違ってますね。
正確には、2y = 2x/3 でした。
これでやれば、ちゃんと、BC=√7になります。

No.2 回答者： debut 回答日時： 2010/01/11 19:52

(1)

弧ＡＢに対する円周角なので　60°

(2)
△ＡＢＤ∽△ＥＣ Ｄより
（ＢＤ：Ｃ Ｄ＝ＡＤ：ＥＤ）
３：１＝２：ＥＤ→ＥＤ＝２/３

(3)
ＢＤは∠ＡＤＣ の二等分線なので、角の二等分線の性質から
ＡＤ：Ｃ Ｄ＝ＡＥ：Ｃ Ｅ＝２：１
Ｃ Ｅ＝ｘとすれば、ＡＥ＝２ｘ
また、ＢＥ＝３－２/３＝７/３
△ＡＤＥ∽△ＢＣ Ｅより
（ＡＥ：ＢＥ＝ＥＤ：ＥＣ）
２ｘ：７/３＝２/３：ｘ→ｘ^2＝７/９→ｘ＞０よりｘ＝√７/３
つまり、Ｃ Ｅ＝√７/３
ＢＣ ＝ＡＣ ＝３Ｃ Ｅ＝√７

(4)
正三角形の１辺がａのとき、30°、60°、90°の直角三角形の辺の
比から、高さは(√３/２)ａです。
１辺が√７なので、高さは(√21)/２
よって、面積は(１/２)*√７*√21/２＝(７√３)/４

となりました。

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2010/01/11 15:49

(1) 円周角を考えて、

∠ADB = ∠ACB = 60°

(2) △ADB ∽ △EDC　（∠ADB = ∠EDC = 60°，∠ABD = ∠ECDより）
したがって、
AD : DE = BD : CD
2 : DE = 3 : 1
DE = 2/3

(3) BC=x、EC=y と書くと
△AED ∽ △BEC より、
AD : BC = DE : EC
2 : x = 2/3 : y
2y = 3x/2　…(I)

△AEB ∽ △DECより
AB : CD = EB : EC
x : 1 = 3-2/3 : y　　(AB=BC=x)
x*y = 3-2/3　…(II)

(I)、(II)を連立させてx,yについて解くと
x = ±2√7/3，y=±√7/2　（複号同順）
x,yは正だから、x = 2√7/3，y=√7/2
結局 x = BC = 2√7/3

(3)
△ABCの面積 = 1/2 * BC * (BC*√3/2)
　= 1/2 * 2√7/3 * 2√7*√3/6
　= 7√3/9

どっかで計算間違いしてたらごめん。

この回答へのお礼

ＢＣ＝√７

だとの公式見解でした。

回答ありがとう

お礼日時：2010/01/11 21:03