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円に内接する四角形ABCDにおいて
BD=5 CD=3 角度C=120
で四角形ABCDの面積が最大になるとき、ABとACの長さを求めよ

という問題です。何を手がかりに進めるといいですか?

解説が手元になくてもう3時間は悩みました

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A 回答 (7件)

簡単な問題は簡単に解こう。



先ほど書いた事をやってくと、△ABDが正三角形の時面積は最大になる事がわかる。
つまり、AD=AB=5であるから、今度はACの長さを求めよう。

弧ADに対する円周角より、∠ABD=∠DCA=60°。
AC=aとして、△ACDに余弦定理を使うと、a^2-3a-16=0. ‥‥(1) ところが、三角形の成立条件から、2<a<8 ‥‥(2)
従って、(1)の2つの解のうち、(2)をみたすものが求める解。 結果は、a=(3+√73)/2 (≒ 5.7‥‥)である。
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4で回答したものです。



sin(120-θ)=sin120cosθ-sinθcos120

とすれば大丈夫です。
ちなみに、cosθを求めるのは、sinθ^2+cosθ^2=1
を使えば求まるでしょう。
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こんな簡単な問題に、何をゴチヤゴチャ書き込んでる回答者がいるんだろう?



△BCDの面積は定まるから、△BCDの面積はこの際無関係。△ABDの面積が最大になれば良い。
∠DAB=60°であるから、AD=x、AB=yとすると、△ABD=(1/2)*(xy)*(sin60°)=(√3/4)*(xy)‥‥(1)となる。
一方、△ABDに余弦定理を使うと、x^2+y^2-xy=25 ‥‥(2)となる。
つまり、(2)の条件の下で(1)の最大値を求めるだけ。
あとは簡単だろう。xとyの対称式になっているから、x+y=α、xy=βと置けば、あとはエスカレーターという事になる。
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三角形BCDに正弦定理を使うと、角DBCが一つの値を持つ事が分かるはずです(変数にはなりません)


正確な角度は良く分かりませんがとりあえず角DBCが定数と分かったので、おのずと角BDCも定数である事が判明します。(三角形の内角のうち、他の二つが定数な為)

ということは、三角形BCDの形は固定されていて、どうにも変形できない事という事になります。


さて、また円に内接する四角形の対角の和は180度ですから、角Aは60度です。


そして、三角形ABDの面積を最大にするには、底辺BDは5と決まっていますから、AからBDに下ろした垂線の長さ(高さ)が最大になるようにしてあげればいいはずなので、円の対象性を考慮に入れると、
AB=ADの二等辺三角形が三角形ABDの面積を最大にする形だと分かるかと思います。


さてここで、角A=60だったはずですから、それも加味すると、
三角形ABDは正三角形であることが分かりますね。


ということで、ABの長さは求められたはずです。


次にACですが、三角形ACDに着目します。
角ACDは角ABDの円周角なので、60度です。
角ADBは正三角形の内角なので60度です。
角BDCは良く分かりませんが、
仮に角DBC=θとおくと、角BDC=60-θ と書ける事が分かると思います。

sinθの値は一番最初に書いた正弦定理を使えば求められるので、
これでθを式で使っても問題なく数値を求められるようになりました。

というわけで、角ADC=120-θ ですから、

三角形ACDで余弦定理を使えるようになりましたので
(AD=5 DC=3 角ADC=120-θ sinθ=計算で求めてください)
これでACの長さが出せるはずです。


こんな感じでしょうか。
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この回答へのお礼

角ADC=120-θ とのことですが√3/2からθの値を引けばよいのですか? いまいち基本が分かってないのでその辺教えてもらえませんか?

お礼日時:2008/05/01 09:49

AOは正弦定理より。



角Aは、円に内接する四角形より(180°- 角C)でわかりますよ。

あとは、△ABDがどんな三角形の時に面積が最大になるでしょうねぇ。

ヒントは辺BDは5から変えられないことかな。
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ANo.1ですが、追記です。


図形を描くようにとアドバイスしましたが、
そのときに円もちゃんと描いて下さい(円に内接する四角形の問題なので)。
円が無いと解けなくなってしまいます。

また、図形を眺めるときには紙を回転させて
色んな見方をすることも大事です。
辺ABが下にくるように眺めたり、辺BCが下にくるように眺めたり、
辺CDが下にくるように眺めたりといった感じにです。
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図形問題で大事なのは、実際に図を描くことです。

フリーハンドで良いですが、
辺・線分の大きさの大小関係や、角度の大きさは正確に描いて下さい。
大きさが分からない辺や線分、角に関しては適当で良いです。
図中に辺や線分、角度の大きさを書き込むのも良いでしょう。
次に描いた図を眺め、どの部分が固定されていて、
どの部分が変形できるのかを見定めます。

まずBD = 5, CD = 3, ∠C = 120°になるように、
円に内接する四角形ABCDを書いてみましょう。

BD = 5となっていますが、線分BDは対角線です。
このBDを線で結んでみると、四角形ABCDは△ABDと△CBDに分けられているように見えます。

まず△CBDに着目します。
大きさが決まっているのはBD、CD、∠Cです。
でもこの3つが決まっているなら、BCの大きさも一意に決まりそうに感じませんか?
実際に、余弦定理を用いればBCの長さが一意に決まります。
つまり、△CBDの3辺の大きさは固定されている(大きさを変えられない)ことが分かります。
3編の大きさが固定されているということは、△CBDの形が固定されているということになります。
形が固定されているということは、△CBDの面積の値は固定されているということです。

結局、△CBDの面積の値は変えられません。
つまり、四角形ABCDを最大にするためには、残った△ABDの面積を最大にするしかありません。
なので△ABDの面積を最大にすることを考えます。
△ABDの面積が最大になるためにはどうしたらよいのかを考えて下さい。
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解き方の方向性だけでも教えてもらえるとありがたいです。

Aベストアンサー

△ABC の面積は決まっているので、△AC Dの面積を
考えればいいです。
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そして、それはどこかといえば、AC に平行な直線が円と
接する場所(当然、四角形はABC Dなので、AC について
Bと反対側ですが)であり、Aとその接点Dを結ぶ直線と
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0.6 × 5 = 3.0  ・・・  五進法の小数第一位は   3(2回5倍して3)
 ※これ以降は、小数点以下がすべて0なのでこれ以上は変化がないため、これで終了。

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