No.1ベストアンサー
- 回答日時:
satoooさん、こんにちは。
>x^n=(x^2-4x+3E)p(x)+ax+bEをみたす定数a,bがある。
問 定数a,bの値をもとめよ。
問 A=(5 -4)のとき
(2 -1) ←2次の正方行列のつもり
問1を用いてA^nを求めよ。
まず、(x-2-4x+3E)のところに注目します。
x^2-4x+3E=(x-3E)(x-E)となるので
x=E,3Eのとき、ここの部分は0になります。
つまりp(x)の係数が消えます。これを利用します。
x^n=(x^2-4x+3E)p(x)+ax+bE・・・(☆)
(☆)において、
x=Eを代入してみると、
E^n=0*p(x)+aE+bE=E(単位行列は何乗しても単位行列)
ですから、このことよりa+b=1・・・(1)を得ます。
(☆)において、
x=3Eを代入すると、
3E*3E=(9,0
0,9)
ですから、(3E)^n=(3^n、0
0、3^n)
となるのが分かると思います。
x^n=0*p(x)+a(3E)+bE
ですから、成分計算して、3a+b=3^n・・・(2)
(1)(2)より、a=(3^n-1)/2
b=(1-3^n)/2
さて、A^2-4A+3E=0となるのが
成分計算から分かると思いますので、
A^n=0*p(A)+a(A)+bE
ここで、a,bは上の値ですから、
A^n=(3^n-1)/2*A+(1-3^n)/2*E
=(2*3^n-2、-2*3^n+2
3^n-1、1-3^n)
となると思います。頑張ってください。
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