整数問題５ 類難題

不定方程式 7x+6y=n が
6 個の自然数解を持つような最小の自然数 n を求めよ.

補足

この問題は以下の投稿の類題ですが
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13419230.html

座標設定し、ｘ軸上での大小関係に持ち込みたいのですが、、、、

前回と違い、係数が大きいので、さて、どうしたものか

何卒宜しくお願い致します

質問者からの補足コメント

• 

  おはようございます
  
  前問では、大変お世話になりました
  
  今回は、勇気を出して今までの考え方を捨てて
  
  新しいアプローチで考えてみました
  
  識者の貴殿に
  ご評価、ご指導くだされば幸いでございます。
  
  from minamino

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/08 09:06

• 

  こんにちは
  いつもお世話になっております。
  
  >区間の幅について
  5 ≦ (n - 1)/6 - (n + 1)/7 < 7 であることが必要。
  
  この考え方が馴染めず
  
  私の答案です
  
  ご評価、ご指導ください
  
  私は、別のアプローチで考えてみました

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/08 09:18

• 

  ご丁寧にありがとうございます
  
  でも、私には無理です
  
  とても使いこなせません
  
  私の数学は直感だけの数学ですから
  
  ごめんなさい。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/08 15:37

• 

  おはようございます
  
  ご指摘のとおり杜撰でした
  
  答案に添えました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/09 07:24

No.6 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/09 10:59

補足

注1.
xは正整数なので1以上又格子点が6つ存在
するならば1≦x<P1にも格子点のx座標が
6つ存在する故に格子点の数をLとして
P1=1+(L-1)6
と表せる
で
格子点というのはx座標とy座標が両方整数なのだから
x座標が正整数だからといって
y座標が正整数とは限らないから

x=1,1+6,1+2*6,1+3*6,1+4*6,1+5*6
のとき
y座標が正整数となる理由を書いてください
その理由を書かなければ証明とはいえません

なお
x+y=n …②
は間違いで正しくは
x+y=k …②
ですので修正してください

この回答へのお礼

大切なご指摘ありがとうございます。ありがとうございました

お礼日時：2023/04/11 10:58

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/09 04:58

その補足で

x+y=n …②
は間違いで正しくは
x+y=k …②
です

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/09 04:51

その補足で

図の赤線分(1≦x≦p1)の
長さ(x座標)は
P1=x=1+6(6-1)=31
となるのは
なぜかの理由が書かれていません
理由を書いてください
その理由を書かなければ証明とはいえません

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/08 13:38

←補足

＞ この考え方が馴染めず

そお？
ただの植木算なんだけどな。
補足のグラフのｘ軸上で考えるのとほぼ同じだが、
こちらの数直線のほうがやや単純なはず。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/08 05:59

7x+6y=n

7(n-6k)+6(7k-n)=n

x=n-6k>0
y=7k-n>0

x=n-6k>0
n-6k>0
n>6k
n/6>k
k<n/6…(1)

y=7k-n>0
7k-n>0
7k>n
k>n/7
n/7<k
↓これと(1)から
n/7<k<n/6

kの最小値をk1とすると
n/7<k1≦k≦k1+5<n/6…(2)

n/7<k1
n<7k1
n≦7k1-1…(3)

(2)から
k1+5<n/6
6(k1+5)<n
6k1+30<n
6k1+31≦n…(4)
↓これと(3)から
6k1+31≦n≦7k1-1
6k1+31≦7k1-1
32≦k1
192≦6k1
223≦6k1+31
↓これと(4)から
223≦6k1+31≦n
223≦n

n=223のとき
n/7=223/7<32≦k≦37<223/6=n/6
だから
n/7<32≦k≦37<n/6
となるkは37-32+1=6個
∴適する

以上から適するのは
n=223

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/08 01:00

前回と全く同様に...

7x + 6y = n　　　←[1]
7・1 + 6・(-1) = 1　←[2]
辺々 [1] - [2]・n を行うと、 7(x - n) + 6(y + n) = 0.
すなわち、 7(x - n) = -6(y + n).
左辺は 7 の倍数、右辺は 6 の倍数だから、
7 と 6 の最小公倍数 42 を使って
7(x - n) = -6(y + n) = 42k　(kは整数) と解ける。
変形して、x = n + 6k, y = - n - 7k.

x, y が自然数である条件は、 n + 6k ≧ 1 かつ - n - 7k ≧ 1.
すなわち、 (n + 1)/7 ≦ -k ≦ (n - 1)/6.
これを満たす k が 6 個であるために、区間の幅について
5 ≦ (n - 1)/6 - (n + 1)/7 < 7 であることが必要。
すなわち、223 ≦ n < 307.

この範囲の n で [1] の解がちょうど 6 個になるものを探すのだが、
そのような n の中で最小のものを見つければよいので
小さい n から順に試してゆく。
n　　(n + 1)/7　(n - 1)/6　-kの範囲　　　ｋの個数
223　32　　　　37　　　32から37まで　6
あれ？ １ 個目の候補で解を見つけてしまった。
答えは n = 223.