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xの方程式 cos2x+2ksinx+k-4=0 (0≦x≦π)の異なる解の個数が2つであるためのkの満たす条件を求めよ。

まず、式変形をして
1-2sin^2 x+2ksinx+k-4=0 とし、定数分離できないので、
sinx=tとおいて-2t^2+2kt+k-3=0(0≦t≦1)
とやろうと思いましたが、なんかよくわからなくなってしまいました。
回答よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

>場合分けをして考えればよかったんですか…。



別に、場合分けなんかしなくても解ける。

2t^2 - 2kt - k+3=0から、2t^2 +3=2k(t+1/2)=yとすれば、y=2t^2 +3のグラフとy=2k(t+1/2)のグラフが0≦t≦1に1個のみの解をもつ条件として求まる。
つまり、y=2k(t+1/2)は定点(-1/2、0)を通る傾きが2kの直線。
又、A(0、3)、B(1、5)とすると、点Aを通る時の傾き≧2k>点Bを通る時の傾き、として求められる。

断っておくが、この問題のポイントは、あくまで“sinx=tとおいた時、xの (0≦x≦π)における異なる解の個数が2つであるための条件は、x=π/2以外は、xとtは 0≦x≦πの範囲では、2対1の対応である事”にある。

kを求める事は、それ程本質的ではない。
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#2 うっかりですね。

#3さんがおっしゃるとおり。0≦x≦π でしたね。
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sinx=tとおいた時、xの (0≦x≦π)における異なる解の個数が2つであるための条件とは、x=π/2以外は、xとtは 0≦x≦πの範囲では、1対2の対応である事に注意。


0 ≦ t ≦ 1 で2つの異なる実数解を持つように k を定めれば良いという単純な問題ではない。

f(t)=2t^2 - 2kt - k+3=0 ‥‥(1) が0≦t≦1に1個のみの解をもつ条件として求まる。
(1)t=0の時、k=3でこのとき(1)は t(t-3)=0. つまり、x=0、πであるから条件に適する。
(2)t=1の時、つまり、x=π/2であるから条件に反する。このとき、k=5/3。
(3)0<t<1に1個のみの解をもつ条件は、f(0)*f(1)<0. つまり、5/3<k<3.

以上より、5/3<k≦3.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。場合分けをして考えればよかったんですか…。参考になりました。

お礼日時:2008/03/30 13:08

そのまま進めば良いのです。


二次方程式
-2t^2 + 2kt + k-3 = 0
⇔ t^2 - kt - (k-3)/2 = 0
が 0 ≦ t ≦ 1 で2つの異なる実数解を持つように k を定めれば良いのでしょう?

分からなくなったらグラフを書いて考えましょう。
y = f(t) = t^2 - kt - (k-3)/2 とおいて、

・ 放物線の軸はどこになければならないか
軸は t = k/2 で、0<k/2<1 でなければならない ・・・(1)

・ f(0)≧0 かつ f(k/2)<0 かつ f(1)≧0 ・・・ (2)
0≦t≦1 で異なる2つの実数解を持つ条件として、グラフを眺めれば上の条件が出てくるでしょう。f(k/2)は頂点の y 座標であり、f(k/2)<0 は 判別式>0 と同じことですね。

で、(1),(2) の連立不等式を解けば良いのです。頑張りましょう。
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tの二次方程式と見て、判別式Dの符号で考えてみてはいかがでしょうか?

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