時速 54 km で一直線上を車で走っていると、25 m 先に障害物を見つけた。このとき、どのくら
いの強さでブレーキを掛ければ、障害物にぶつからずに止まることができるかを考えよう。ブレー
キをかけはじめる位置を x = 0 [m] とし、車の進行方向に x 軸を取る。車がブレーキをかけはじめ
る瞬間を t = 0 [s] とし、時刻 t における車の位置を x(t) とする。
いきなり急ブレーキをかけるのではなく、ブレーキの強さを段々と強くしていくことを考えてみよう。ブレーキをかけ始めてから車が進んだ距離に比例した強さのブレーキをかけるとすると、車の位置は
d^2x/dt^2=−k²x
と表される。
車が静止した瞬間の障害物と車の間の距離は①|25−15/k|
となるから②k>3/5であれば車は障害物にぶつからずに静止する。
kの値がこの最小値の時、ブレーキをかけている間に感じる最大の加速度の大きさは③9.0m/s²(有効数字2桁)であり、
加速度の大きさが最大になる瞬間の時刻はt=④2.6s(有効数字2桁)
①から分かりません
初期条件t=0の時x=0,v=15m/s
x(t)=Asin(√kt)+Bcos(√kt)
x(0)=B
v(t)=(−A/√k)cos(√kt)+(B/√k)sin(√kt)+
15−(A/√k)cos(√kt)
A=(15/2)√k
三角関数の合成
25=(15/2)ksin(√k+a)
ここからどうやって解くか分からないです
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>ブレーキをかけ始めてから車が進んだ距離に比例した強さのブレーキをかけるとすると、車の位置は
>d^2x/dt^2=−k²x
>と表される。
この言い方はおかしい。
話が逆であって、車の位置を x とすると、その位置で車に働くブレーキ力(制動力)の大きさ F は、適当な比例定数を p(>0) として
F = -p・x
と表わされる。
従って、運動方程式は、車の質量を m として
m*d²x/dt² = F = -p・x
→ d²x/dt² = -(p/m)・x
ここで、p/m>0 なので p/m=k^2 とおいて
d²x/dt² = -k^2・x (1)
と書ける、ということなのでしょう。
この一般解は
x = Asin(kt) + Bcos(kt)
t=0 のとき x=0 の初期条件とすれば
B=0
となり
x = Asin(kt) (2)
従って
v = dx/dt = Akcos(kt)
t=0 のときに初速度 54 km/h = 15 m/s なので
Ak = 15 [m/s]
よって
v = 15cos(kt) (3)
v は静止するまでの単調減少で、v=0 になる時間 T は
kT = π/2
→ T = π/(2k) (4)
そのときの変位は(2)より
x(T) = (15/k)sin(π/2) = 15/k [m]
従って、静止したときの障害物との距離は
L = 25 - 15/k [m] ←①
(障害物の手前なら L>0、障害物を通過していたら L<0)
従って、障害物の手前で止まるためには
25 - 15/k > 0
→ 25 > 15/k
K>0 なので
k > 15/25 = 3/5 ←②
加速度の大きさの最大値はx=25, k=3/5 のときなので、(1)より
d²x/dt² = -k^2・x
= -(3/5)^2 ・25
= -9 [m/s^2]
より
|d²x/dt²| = 9 [m/s^2] ←③
その時刻は(4)で k= 3/5 になるときなので
T = 5π/6 = 2.6179・・・ ≒ 2.6 [s]
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