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時速 54 km で一直線上を車で走っていると、25 m 先に障害物を見つけた。このとき、どのくら
いの強さでブレーキを掛ければ、障害物にぶつからずに止まることができるかを考えよう。ブレー
キをかけはじめる位置を x = 0 [m] とし、車の進行方向に x 軸を取る。車がブレーキをかけはじめ
る瞬間を t = 0 [s] とし、時刻 t における車の位置を x(t) とする。

いきなり急ブレーキをかけるのではなく、ブレーキの強さを段々と強くしていくことを考えてみよう。ブレーキをかけ始めてから車が進んだ距離に比例した強さのブレーキをかけるとすると、車の位置は

d^2x/dt^2=−k²x
と表される。

車が静止した瞬間の障害物と車の間の距離は①|25−15/k|
となるから②k>3/5であれば車は障害物にぶつからずに静止する。
kの値がこの最小値の時、ブレーキをかけている間に感じる最大の加速度の大きさは③9.0m/s²(有効数字2桁)であり、
加速度の大きさが最大になる瞬間の時刻はt=④2.6s(有効数字2桁)

①から分かりません
初期条件t=0の時x=0,v=15m/s
x(t)=Asin(√kt)+Bcos(√kt)
x(0)=B
v(t)=(−A/√k)cos(√kt)+(B/√k)sin(√kt)+
15−(A/√k)cos(√kt)
A=(15/2)√k

三角関数の合成
25=(15/2)ksin(√k+a)
ここからどうやって解くか分からないです

A 回答 (1件)

>ブレーキをかけ始めてから車が進んだ距離に比例した強さのブレーキをかけるとすると、車の位置は


>d^2x/dt^2=−k²x
>と表される。

この言い方はおかしい。
話が逆であって、車の位置を x とすると、その位置で車に働くブレーキ力(制動力)の大きさ F は、適当な比例定数を p(>0) として
 F = -p・x
と表わされる。
従って、運動方程式は、車の質量を m として
 m*d²x/dt² = F = -p・x
→ d²x/dt² = -(p/m)・x

ここで、p/m>0 なので p/m=k^2 とおいて
 d²x/dt² = -k^2・x    (1)
と書ける、ということなのでしょう。

この一般解は
 x = Asin(kt) + Bcos(kt)
t=0 のとき x=0 の初期条件とすれば
 B=0
となり
 x = Asin(kt)   (2)

従って
 v = dx/dt = Akcos(kt)
t=0 のときに初速度 54 km/h = 15 m/s なので
 Ak = 15 [m/s]
よって
 v = 15cos(kt)   (3)

v は静止するまでの単調減少で、v=0 になる時間 T は
 kT = π/2
→ T = π/(2k)    (4)

そのときの変位は(2)より
 x(T) = (15/k)sin(π/2) = 15/k [m]

従って、静止したときの障害物との距離は
 L = 25 - 15/k [m]             ←①
(障害物の手前なら L>0、障害物を通過していたら L<0)

従って、障害物の手前で止まるためには
 25 - 15/k > 0
→ 25 > 15/k
K>0 なので
 k > 15/25 = 3/5             ←②

加速度の大きさの最大値はx=25, k=3/5 のときなので、(1)より
 d²x/dt² = -k^2・x
     = -(3/5)^2 ・25
     = -9 [m/s^2]
より
 |d²x/dt²| = 9 [m/s^2]          ←③

その時刻は(4)で k= 3/5 になるときなので
 T = 5π/6 = 2.6179・・・ ≒ 2.6 [s]
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