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何故グラフに接するとき重解になるのですか?(x-α)ではなく(x-α)^2のようになるのですか?

A 回答 (4件)

え、二次関数の話なんですか?


その場合も、f(x) = (x^a)^2 の形であることが、
x = a が重解であること
y = f(x) が x 軸に接すること
の定義であることに違いはありません。
なぜそうなるではなく、そういう名前をつけた
だけのことなんです。
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2次式とは、a=0でない y=ax^2+bx+c である。


解とは、x軸との交点を意味し、2次式には、2つの解があります。
その解というかx軸との交点をα、βとすれば
そして、その2次式を上または下につりあげると2点から1点に変わる時があり、
その時を接するという。つまり、αもβも接点に近づくことになる。
解は必ず2つあるから、(複素数、虚数も含めて)接するときも2つの解があるから
αから接点に近づいた解とβから接点に近づいた解は同じ解になるからです!
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二次式の話のようですね。


  y = (x-α)^2 - ε^2
のグラフを考えてみればいいでしょ。x=αでx軸に接する放物線のグラフをε^2だけ「下にずらした」グラフです。右辺を因数分解すると
  y = (x-α+ε)(x-α-ε)
なので
   (x-α)^2 - ε^2 = 0
の解は α+ε と α-ε の二つ。|ε|がうんと小さいとき、二つの解はすぐ近くにあります。|ε|を0に近づけて行けば、二つの解はさらにどんどん近づいていく。で、|ε|=0のときには、二つの解がちょうど「重」なる。そしてこのとき、
  y = (x-α)^2
になっているわけです。なのでその解αを「重解」と呼ぶ。
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質問文が、なんだかなな日本語ですが...


y = f(x) が x = a の場所で x 軸に接するとき、f(x) = 0 は x = a を重解に持ちます。
更に、f(x) が多項式であれば、f(x) は (x-a)^2 で割り切れることになります。

なぜ接するとき重解なのかは、聞くだけ野暮で、解が重解になることが「接する」
という言葉の定義なのです。f(x) が (x-a)^2 で割り切れることは、「aが重解である」
ことの定義です。ただ、そういう名前に決めただけなのです。
逆に言えば、「接する」「重解である」には、それだけの意味しかありません。
あまり無闇にグラフから妄想を広げないほうがいいよってことです。
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