数学II 三次方程式 x^3-5x^2+ax+b=0が3+2iを解にもつとき、実数a,bの値と他の解

数学II

三次方程式 x^3-5x^2+ax+b=0が3+2iを解にもつとき、実数a,bの値と他の解を求めよ。

という問題で授業ではxに3+2iを代入すると計算が大変なので3+2iを解にもつということは3-2iも解にもつということを利用して計算しましょうと言われました。

そこで3-2iと3+2iを解にもつ二次方程式は
(3+2i)+(3-2i)=6と(3+2i)(3-2i)=13と出たので
x^2-6x+13=0となり、x^3-5x^2+ax+b=0は
x^2-6x+13で割り切れるはずという説明をされたのですが、なぜx^3～の式がx^2～の式で割り切れるといえるのか分かりません。

教えてください。お願いします。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/03/08 18:06

3次式P(x)は適当なxの多項式Q(x)と実数p、qで

P(x)=(x^2-6x+13)Q(x)+px+q
と書くことができます。
#多項式の割り算

x=3±2i ではx^2-6x+13=0、P(x)=0
ですから
P(3±2i)=p(3±2i)+q=0 →p=q=0
よって
P(x)=(x^2-6x+13)Q(x)

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2024/03/01 21:17

2次方程式で 解の公式を使うと、

p±√ｑ と云う形の式が出てきますね。
つまり 3+2i が１つの解なら 3-2i も 解になる筈です。
従って ３つ目の解を s ( 実数) とすれば、
問題の３次式は (x-s)(x-3-2i)(x-3+2i)=(x-s)(x²-6x+13) ですよね。
従って 元の３次式は x²-6x+13 で 割り切れることになりますね。
（3次の方程式は、実数解が 1つ以上 あります。）

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/03/01 15:51

三次方程式の解を

α、β、γとすると
左辺は因数分解できて
x³-5x²+ax+b＝(x-α)(x-β)(x-γ)＝0
となる　
これを見てわかるとおり
x³-5x²+ax+b
は、その因数である
(x-α)(x-β)で割り切れる

今、α＝3+2ｉ、β＝3-2iとすれば
(x-α)(x-β)＝x²+6x+13だから
x³-5x²+ax+bは
その因数である
(x-α)(x-β)＝x²+6x+13
で割り切れる事になります

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/01 15:42

三次式は

　x^3 - 5x^2 + ax + b = (x - A)(x^2 - Bx + C)
と書けます。

「共役複素解」は
　x^2 - Bx + C = 0
の方の解ですから（x - A = 0 の解は実数解）。
なので「共役複素解」で作った二次式で割ることができる。