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無数の解が存在する=すべての実数解?

連立1次方程式
x,yを未知数とする2元連立1次方程式を数Cの行列を使ってとく問題なのですが・・・

答え方として

係数行列の逆行列がある場合・・・ただ1角解が存在する。

↑がない場合・・・解が存在しない
無数の解が存在する

ここでの無数の解が存在するのところを授業で

すべての実数解と習ったのですが無数の解と意味が一致するかがきわどいです

教えて下さい(*´∀`*)


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ちなみにおんなじ問題を参考書で見たら無数の解が存在するとありました

先生はただその時だけの言い間違いかな?と思っていたら
その後の授業の該当するすべての問題ですべての実数解と言っていました。

A 回答 (6件)

A No.3 にあるとおりで、「無数の解が存在する」と「すべての実数解」は、


= か ≠ か以前に、比較すること自体がトンチンカンな、全く異種の表現だ。
先生は、「無数の解が存在する=すべての実数が解」だと言ったのではなく、
「この方程式には無数の解が存在する。そのすべての実数解がナンタラカンタラ」
という話をしたのではあるまいか。貴方がちゃんと聞いてなかった…に一票。
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No.1 です。



そうだね、皆さんの解答が正しい。

xRy が認められるわけだから、全ての実数解なんていうこと自体が
おかしいことなのか。

xとyについて、解の組み合わせは実数上で無数にある。

ことと、全ての実数解とは意味が異なります。

こういう部分は先生がおかしいです。

お詫びして訂正。(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
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無数の解と全ての実数解は全く異なる意味です。


「無数の解」とは例えば、xとyの組み合わせが(1,1)や(2,2)や(1+i,1-i)とか「方程式にマッチングした解」が無数にあることですが、「全ての実数解」は解の個数が有限なのか無限なのか言及していません。

数学は、自然言語と違って「曖昧さ」を嫌います。参考書の模範解答は「無曖昧」になっているはずなので、そちらを信用したほうが無難だと思います。(先生も人ですので間違いをします)
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>ここでの無数の解が存在するのところを授業で


>
>すべての実数解と習ったのですが無数の解と意味が一致するかがきわどいです


ほんとうに,一言一句間違いなくそういわれてますか?

「無数の解が存在する」はまあ,不正確だけども状況としてはありますが
「すべての実数解」というのは
まったく意味が違います

たとえば,実数の範囲で考えているばあいに

0 x = 0 の解は「すべての実数」←正解
0 x = 0 の解は「すべての実数解」←問答無用で零点

なぜって・・・意味が通じる言葉じゃないから
「すべての実数が解」なら意味が通じるし,正解.

極端な話,
「x+1=0 の解を求めよ」
「答えは「すべての実数解」です」
「はあ?」
でしょう
実数範囲で方程式を解くってのは
例外が明記されてない限り「すべての実数解」を求めよという意味です.
だから方程式の解(それが無数にあろうがなかろうが)
「すべての実数解」が「解」ということは言葉の意味としておかしいです.

ということで
「一言一句のちがいなく」ですか?というわけです.


なお・・・・当初の

>無数の解が存在する=すべての実数解?

は,これだけに関していえばNoです

例:sin(x)=0となるxは
無数に存在するが,実数すべてが解ではない

二元一次連立方程式に限れば・・・主観的にはNo
x+y=1
2x+2y=2
は確かに行列式0で解が無数にあり
xもyもすべての実数が解になりますが,
x,yのどんな組み合わせも解になるわけではありません.
したがって,
「すべての実数解」はNG
「すべての実数が解」もNGでしょう?
そもそも,xとyの組を求めよというのに「すべての実数」と答えるのは
答えるものが違いませんか?
このような場合は
(x,1-x)(xは任意の実数)
というように,解が満たす条件を正確にかかないと解いたことにはなりません.

#って・・・質問内容を誤解してるか?>じぶん
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一般には、「無数の解が存在する」と「すべての実数が解」とはイコールではないのは明らか。


例えば x>0 というxについての不等式だと、「無数の解が存在する」ですが、「すべての実数が解」ではないです。

ただし、連立一次方程式の解と言うことなら、「無数の解」が存在するときには、すべての実数がxになり得て、それぞれのxに対してyが一意に定まりますので、xとyの片方について言うと「すべての実数が解」になります。
その意味では先生は間違ってないのですが、口癖になっているとすると、最初に書いたようなケースまで間違えて言ってる可能性がありますね。
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例えばこういうことかな?



2元連立1次方程式をこう定めます。
x+y=2  (1)
2x+2y=4 (2)

実はこれは連立方程式ではない。

ですが一応行列を出しておくと

(1 1
 2 2)

となるかな?
この行列は、正則な行列ではない(大きさが0)。

よってこの連立方程式は解けない、と解釈をします。

これはなぜかっていうと、簡単でね^^;

(1)×2 =(2) だからですね。

 連立方程式になっていないってことね。

このときは、x+y=2 これだけしかないと思っていいわけだから、

x=2-y として、解は無数にありますね。

特定はできないわけでね^^;

全ての実数xについて、yが必ず存在する。ともいえるわけですよ。

複素数になると、ダメだけどね(!)。

そういう意味では先生は間違ってないと思うけれど?

(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
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