三次関数の極値を持つ条件はなぜf′(x)=0の判別式>0で=がつかないのでしょうか？ また、一般的に

三次関数の極値を持つ条件はなぜf′(x)=0の判別式>0で=がつかないのでしょうか？
また、一般的に極値を持つ条件とはなんなのでしょうか？
f(x)=log(x)/xの時などはf′(x)=0の時解一つですが、極値は存在し混同しています。
初歩的な質問ですみません。

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2018/01/24 13:25

3次関数を図示してください！そうすると、普通、極大値と極小値が1つずつありますね！

でも、D=0になれば、 極大値と極小値が重なるからではないでしょうか？
例えば、y=x^3 のグラフでは、極値は、見当たりません！
lim x→± ∞ x^3= ± ∞ ですね！ x=0で、変曲点があるだけですね！
よって、1回微分して、増減表で確認すればいいでしょう！
一般かどうかわかりませんが、
f'(x)=0 かつ f"(x)=0ではないのが、条件では！？
それと、解とは、x軸との交点で、極値とは、関係ないのでは？
図示すれば、わかるのでは？

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！

お礼日時：2018/01/24 20:39

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/01/24 14:17

微分可能な関数が極大・極小値を持つとき、その前後で微分係数の符号が変化する必要があります。

極値をとる点で増加→減少となる場合が極大値、減少→増加となる場合が極小値となります。

これを微分係数の符号でいうと、プラス→マイナスが極大値、マイナス→プラスが極小値となるのです。

三次関数f(x)の場合、導関数f'(x)は二次式となります。
f'(x)の符号が変化する点が存在する場合、必ずf'(x)=0は異なる二つの実数解をもたねばなりません。
もし、重解であれば、その前後で符号が変化しないためf'(a)=0となる点(a,f(a))は極値とはなりません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！

お礼日時：2018/01/24 20:39