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y''+ 2y'+2y= xe^(-2x)の特殊解の求め方が分かりません
特殊解をy=(ax+b)e^-2xと予想して解いてますが、最終的な答えに行き着きません。どう解けばいいのでしょうか?

A 回答 (2件)

微分演算子法を使うとスマートに解けます(ラプラス変換でも


同様と思うが)。

与式から特殊解は
 (D²+2D+2)y=xe^(-2x)
→ y=(1/(D²+2D+2))xe^(-2x)

で計算する。公式
 {1/f(D)}F(x)=e^(ax){1/f(D+a)}[e^(-ax)F(x)]
を使う。
 a=-2 , f(D)=D²+2D+2 , F(x)=xe^(-2x)
として
 {1/f(D)}F(x)=e^(-2x){1/(D²-2D+2)}x
この多項式の計算は「山辺の方法」を使うのが一般的だが、
級数展開でも解ける。

1/(1-x)=1+x+x²+… から
 1/(D²-2D+2)=(1/2)/{1-(D-D²/2)}
=1+(D-D²/2)+(D-D²/2)²+…
となり、xを作用させると、D²以上の微分は0になるから
 {1/(D²-2D+2)}x=(1/2)[1/{1-(D-D²/2)}]x
=(1/2){1+(D-D²/2)+(D-D²/2)²+…}x=(x+1)/2

 {1/f(D)}F(x)={(x+1)/2}e^(-2x)

https://www.momoyama-usagi.com/entry/math-ode13
微分演算子法にはいろいろな公式があり、これらを利用します。
ただ、上のサイトはあまりまとまりがなく、お勧めは
「解析学概論、矢野・石原、裳華房」
です。

山辺の方法
https://blog.takunology.jp/entry/2021/01/13/112540
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2022/06/24 10:11

「最終的な答え」がどのようなものなのかわからないけど, そのようにおいて「特殊解が得られる」ことは間違いないよ.

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