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No.4ベストアンサー
- 回答日時:
これは確かに難問ですね。
~~~~
まず、f(x)=x^2-n^2x+n とする。
n=1のとき f(x)=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4 となるのでf(x)=0は実数解無し。
以降、n≧2の自然数について考える。
f(0)=n>0、f(1)=-n^2+n=n(-n+1)<0 であるから、一方の解aは0<a<1の範囲にあるため整数にはならない。
f(x)=0が整数解を持つとしたとき、整数解α、もう一方の解βとすると、
(x-α)(x-β)=0 より x^2-(α+β)x+αβ=0
解と係数の関係より n^2=α+β
整数αと実数βの和が自然数となるので、βも整数でなければならない。
つまりf(x)=0が整数解を持つとき、2つの解はともに整数である。
しかし、前段より少なくとも一つの解は整数ではないので矛盾。
よってf(x)=0は整数解を持たない。
~~~~
う~ん、もっとエレガントな解答があるんじゃないかなぁ。
あ、#1の解答はx=nが解ではないことを示しただけで、nと無関係な自然数mが解である可能性を否定できていないからだめです。
No.5
- 回答日時:
x²-n²x+n=0……① が整数解をもつと仮定します。
解をα、βとすると、解と係数の関係により、
α+β=n²
αβ=n
α+β が整数なので、①が整数解をもつということは、
α、β、ともに整数ということになります。
α+β>0 , αβ>0 より、α>0 , β>0 です。
よって、α、β、ともに自然数ということになります。
n≧1より、n² ≧ n
よって、
α+β ≧ αβ
αβ - α - β ≦ 0
αβ - α - β +1 ≦ 1
(α - 1)(β - 1) ≦ 1……②
α、β、ともに自然数なので、
α - 1≧0、β - 1≧0より、
(α - 1)(β - 1)≧0……③
②、③より、
0≦(α - 1)(β - 1)≦1
よって、
(α - 1)(β - 1)=0……⓸
または、
(α - 1)(β - 1)=1……⑤
⓸より、α=1、または、β=1
①がx=1を解にもつことになるので
①にx=1を代入すると、
1-n²+n=0
n²-n-1=0
n=(1±√5)/2
nは自然数なので矛盾。
⑤より、
α - 1=1 かつ β - 1=1
α= β =2
①がx=2を解にもつことになるので
①にx=2を代入すると、
4-2n²+n=0
2n²-n-4=0
n=(1±√33)/4
nは自然数なので矛盾。
以上により、①は整数解をもちません。
No.1
- 回答日時:
x=-nの時(nは自然数)
与式=n²+n³+n≠0で成り立たない。
x=0の時
与式=n≠0で成り立たない。
x=nの時(nは自然数)
与式=n²-n³+n=0
n²(1-n)+n=0
n(1-n)+1=0
n(n-1)≠1で成り立たない。
以上から、xが整数の時x^2-n^2x+n=0は成り立たない。
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