この問題がわかりません。x^2-n^2x+n=0が整数解をもたないことを示せ。ただしnは自然数である

この問題がわかりません。x^2-n^2x+n=0が整数解をもたないことを示せ。ただしnは自然数である。

No.4 ベストアンサー 回答者： windwald 回答日時： 2020/10/13 17:56

これは確かに難問ですね。

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まず、f(x)=x^2-n^2x+n とする。
n=1のとき f(x)=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4 となるのでf(x)=0は実数解無し。

以降、n≧2の自然数について考える。
f(0)=n>0、f(1)=-n^2+n=n(-n+1)<0 であるから、一方の解aは0<a<1の範囲にあるため整数にはならない。

f(x)=0が整数解を持つとしたとき、整数解α、もう一方の解βとすると、
(x-α)(x-β)=0 より x^2-(α+β)x+αβ=0
解と係数の関係より n^2=α+β
整数αと実数βの和が自然数となるので、βも整数でなければならない。
つまりf(x)=0が整数解を持つとき、2つの解はともに整数である。
しかし、前段より少なくとも一つの解は整数ではないので矛盾。

よってf(x)=0は整数解を持たない。

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う～ん、もっとエレガントな解答があるんじゃないかなぁ。
あ、#1の解答はx=nが解ではないことを示しただけで、nと無関係な自然数mが解である可能性を否定できていないからだめです。

No.5 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/10/14 20:59

x²-n²x+n=0……①　が整数解をもつと仮定します。

解をα、βとすると、解と係数の関係により、
α+β＝ｎ²
αβ＝ｎ

α+β が整数なので、①が整数解をもつということは、
α、β、ともに整数ということになります。
α+β>0 , αβ>0 より、α>0 , β>0 です。
よって、α、β、ともに自然数ということになります。

n≧１より、ｎ² ≧ ｎ
よって、
α+β ≧ αβ
αβ - α - β ≦ 0
αβ - α - β +1 ≦ 1
(α - 1)(β - 1) ≦ 1……②

α、β、ともに自然数なので、
α - 1≧０、β - 1≧０より、
(α - 1)(β - 1)≧０……③

②、③より、
０≦(α - 1)(β - 1)≦１
よって、
(α - 1)(β - 1)＝０……⓸
または、
(α - 1)(β - 1)＝１……⑤

⓸より、α＝１、または、β＝１
①がｘ＝１を解にもつことになるので
①にｘ＝１を代入すると、
1-n²+n=0
n²-n-1=0
n=(1±√5)/2
ｎは自然数なので矛盾。

⑤より、
α - 1=1 かつ β - 1=1
α= β =2
①がｘ＝2を解にもつことになるので
①にｘ＝2を代入すると、
4-2n²+n=0
2n²-n-4=0
n=(1±√33)/4
ｎは自然数なので矛盾。

以上により、①は整数解をもちません。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/10/12 00:00

おぅ, 勘違いしてた.

解と係数の関係からいけばいいんだ.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/10/11 23:49

自然数論争が発生しないことを祈りつつ.

2次方程式には「解の公式」というのがあるのはご存知でしょうか?

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/10/11 17:04

ｘ＝－ｎの時（ｎは自然数）

与式＝ｎ²＋ｎ³＋ｎ≠０で成り立たない。
ｘ＝０の時
与式＝ｎ≠０で成り立たない。
ｘ＝ｎの時（ｎは自然数）
与式＝ｎ²－ｎ³＋ｎ＝０
　　　ｎ²(1-n)+n=0
n(1-n)+1=0
n(n-1)≠1で成り立たない。
以上から、ｘが整数の時x^2-n^2x+n=0は成り立たない。