数学の質問

ｘ＋ｙ＋ｚ＝ａ、ａ(ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ)＝ｘｙｚが成り立つとき、ｘ、ｙ、ｚのうち
少なくとも１つはａであることを証明せよ。

このとき、x+y+z=a , a(xy+yz+zx)=xyz から

(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=0
これを展開して、因数分解すると、

(x+y)(y+z)(z+x)=0
x+y+z=aから
(a-z)(a-x)(a-y)=0


と解説があったのですが、
(x+y)(y+z)(z+x)=0
x+y+z=aから
(a-z)(a-x)(a-y)=0

の部分がよくわかりません。なぜ、x+y+z=aならば(a-z)(a-x)(a-y)=0

なんでしょうか。

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/25 21:00

そうやって、ゴチャゴチャ式変形してもいいのだけれど、

解と係数の関係から x,y,z が三次方程式
ttt -att +bt -ab = 0 の解であり、
この方程式は解 t = a を持つことを言ったほうが
見通しがよいように思う。

No.3 回答者： maimi09 回答日時： 2012/04/25 19:10

x+y+z=a を移項して、(x+y)(y+z)(z+x)=0の括弧内の項と等しくなる式に変形すれば分かりますよね。

つまり・・・

x+y+z=aを変形させると

(x+y)=a-z
(y+z)=a-x
(z+x)=a-y

となるということで、

(x+y)(y+z)(z+x)=0の(x+y)、(y+z)、(z+x)それぞれ（変数に代入するみたいに）当てはめると解説にある(a-z)(a-x)(a-y)=0が得られます。

No.2 回答者： wild_kit 回答日時： 2012/04/25 18:57

ｘ＋ｙ＋ｚ＝ａであるから

ｘ＋ｙ　＝　ｘ＋ｙ＋ｚ－ｚ　＝　ａ－ｚ
ｙ＋ｚ　＝　－ｘ＋ｘ＋ｙ＋ｚ　＝　ａ－ｘ
ｘ＋ｚ　＝　ｘ＋ｙ－ｙ＋ｚ　＝　ａ－ｙ

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2012/04/25 18:56

>(x+y)(y+z)(z+x)=0

x+y+z=aから
x+y=a-z, y+z=a-x, z+x=a-y

よって

(x+y)(y+z)(z+x)=(a-z)(a-x)(a-y)=0