｢ΔA = A(x+Δx, y, z(x+Δx,y)) - A(x,y,z(x,y)) z(x+Δx

｢ΔA = A(x+Δx, y, z(x+Δx,y)) - A(x,y,z(x,y))
z(x+Δx, y) = z(x,y) + Δz
と書くことにすれば、
A(x+Δx, y, z(x+Δx,y)) = A(x+Δx, y, z+Δz) ①
= A(x,y,z) + (∂A/∂x)yz Δx + (∂A/∂z)xy Δz + O(Δ^2)②
だから、
ΔA/Δx = (∂A/∂x)yz + (∂A/∂z)xy (Δz/Δx) + O(Δ)
Δx→0の極限を取ることで微分になり、yを一定にする条件の微分だから
(∂A/∂x)y = (∂A/∂x)yz + (∂A/∂z)xy (∂z/∂x)y ↙添字は固定してる変数｣
という説明の①の式をどのようにして②にしたのか教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/26 10:55

見てると、目がチラチラします。

z が独立変数なのか、x に従属するのかが
一連の文章の中で場所によって異なりますね。

① を x,z の２変数関数と見て１次テイラー近似すれば ② になります。
その際、z = z(x,y) という従属関係は忘れていて、
z という文字を A(x,y,z) の第3引数と見ています。

そのまま z を独立変数として扱い続ければ
以下の計算で ∂z/∂x = 0 になってしまうのですが、
そうではなくて、今度は z = z(x,y) として扱っています。
この不統一が読みにくさの原因です。たぶん。

ふたつの意味になっている z を、前者は t、後者は g で置き換えてみましょう。
また、ずっと固定しっぱなしの y は定数扱いですから、式には書かないことにします。
すると、質問の文章は...

A = A(x,y,t) = f(x,t), t = g(x),
ΔA = f(x+Δx, g(x+Δx)) - f(x,g(x)),
g(x+Δx) = g(x) + Δg,
と書くことにすれば、
f(x+Δx, g(x+Δx)) = f(x+Δx, g(x)+Δg)　①
= f(x,g(x)) + (∂f/∂x) Δx + (∂f/∂t) Δg + O(Δ^2)　②
だから、
ΔA/Δx = (∂f/∂x) + (∂f/∂t) (Δg/Δx) + O(Δ)
Δx→0 の極限を取ることで微分になり、
(∂A/∂x) = (∂f/∂x) + (∂f/∂t) (∂g/∂x)

...となりますね。①から②へは、
２変数関数 f(x,t) を x,t について１次テイラー近似しているだけです。
O(Δ^2) とか O(Δ) とかの意味を明示していないことも、問題だけど。