連立方程式の解き方

次のような、(1)、(2)から成る連立方程式があります。

２x^2 －x －６ ＝ ０　…　(1)
　x^2 ＋x －１２＝０　…　(2)

これを解くとすると、

辺々足して　　３x^2 －１８ ＝ ０
－１８を移項して　　３x^2 ＝ １８
両辺を３で割って　　x^2 ＝ ６
平方根をとって　　　x ＝ ±√6


別のやりかたもやってみました。

(1)、(2)でx^2をＸとおくと、
２Ｘ －x －６ ＝ ０　…　(3)
　Ｘ ＋x －１２＝０　…　(4)

(4)をＸについて解くと、　Ｘ＝－x ＋１２
これを(3)に代入すると　　２(－x ＋１２) －x －６ ＝ ０
展開すると　　　　　　　　－２x ＋２４ －x －６ ＝ ０
整理すると　　　　－３x ＋１８ ＝ ０
よって　　　　　　－３x ＝ －１８
両辺を－３でわると　　x ＝ ６


ここでおかしいことは、１番目のやりかたと２番目のやりかたで解が違うことです。
また、私の計算では、いずれの解ももとの方程式を満たさないようです。

どこを計算間違いしているのでしょうか。

私は何度も見直しましたが、計算間違いは見つかりませんでした。

辺々足したり、代入したりするところに問題があるのでしょうか。
辺々足したり代入したりするのは、連立方程式を解くときによく使われる手段ですよね。
でも、この連立方程式の場合は、そのようなことをしてはいけないのでしょうか。

もしそうだとしたら、
どのような連立方程式なら辺々足したり代入したりできて、
どのような連立方程式の場合は辺々足したり代入したりができないのでしょうか。

No.9 ベストアンサー 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2003/04/28 04:46

＞方程式の個数と未知数の個数が同じなら、「十分性の確認」をせずに辺々たしたり引いたり代入したりして、未知数＝定数　を導ければ、その定数は解になると言い切れるのでしょうか。

疑問のご趣旨にうまく合っているかどうか分かりませんが，

[例]
球：(ｘ－１)^2+(ｙ－２)^2+(ｚ－３)^2＝１・・・（１）
平面：ｚ＝４・・・（２）
平面：ｘ＋ｙ＝２・・・（３）

（２）と（３）の交わりは直線
（１）と（３）の交わりは円
（１）と（２）の交わりは１点(１，２，４)のみ
[この場合，実は２つの式だけで３変数が決まる．（ｘ，ｙ，ｚが実数で考えるからです）]

まず（１）と（２）の交わりを求めて，点(１，２，４)が決まっても，（３）とは矛盾しています．[全体の共通解はない．]
１点(１，２，４)が決まっても，他の条件と矛盾していないか，確認が必要です．

応用上の問題で，「解が少なくとも１つ(１組)存在している（＊）」ことが問題の性質から保証されているような時は，確かに必要条件だけで考えて，ひたすらいじってただ１組の候補が必要条件[犯人(解)が存在すれば必ず網の中に入っている]として求まれば，その時点でそれが解だとして打ち切っても良いわけです．

でも一般的に（＊）の保証が無い問題では，十分性の確認が要ります．

他にはうまい例が出てこないので，適切な例をご存知の方がいらっしゃいましたらご教示いただけると有難く思います．

この回答への補足

>　(ｘ－１)^2+(ｙ－２)^2+(ｚ－３)^2＝１・・・（１）
>　ｚ＝４・・・（２）
>　（１）と（２）の交わりは１点(１，２，４)のみ
>　[この場合，実は２つの式だけで３変数が決まる．（ｘ，ｙ，ｚが実数で考えるからです）]

なるほど、と思いました。
(２)を（１）に代入すると、
(ｘ－１)^2+(ｙ－２)^2+(４－３)^2＝１
となるわけですが、定数項を右辺にまとめると、
(ｘ－１)^2+(ｙ－２)^2＝０
となりますね。

ここで、実数の範囲で解を考えると、
左辺の　（ｘ－１）も（ｙ－２）も必ず０でなくてはいけませんから、
ｘ＝１、ｙ＝２
と、ｘもｙも確定してしまいますね。
　つまり、実数の範囲で解を求めると、方程式が２つしかなく未知数が３つの場合でも、３つの未知数の値が確定することがある、ということですね。
（複素数の範囲で考えると、違うのかもしれませんが。）

もっと簡単な例で言うと、
x^2 + y^2 = 0
の解を実数の範囲で求めると、 ( x , y ) = ( 0 , 0 ) になります。
実数の範囲という條件がある場合には、方程式の個数が未知数よりも少なくてもすべての未知数の値が確定することがあることがわかりました。

補足日時：2003/04/28 19:16

No.11 回答者： liar_adan 回答日時： 2003/04/28 17:29

#８です。

>少なくとも、yについては 　
>未知数＝定数
>が導き出せたので、これは確定でいいんですよね？

あーすいません。
適当に線形従属の例を作ったもので、
そういうチェックをしていませんでした。
3変数が未確定になる例を挙げれば話がわかりやすかったのですが。

この回答への補足

>> 少なくとも、yについては 　
>> 未知数＝定数
>> が導き出せたので、これは確定でいいんですよね？
>　
>　あーすいません。
>　適当に線形従属の例を作ったもので、
>　そういうチェックをしていませんでした。
>　3変数が未確定になる例を挙げれば話がわかりやすかったのですが。

１次の連立方程式で、未知数も方程式も３個あり、３個の未知数のいずれも確定しない例としては、
　x + 2y - z = 2
　2x + 4y -2z = 4
　3x + 6y -3z = 6
第２式は第１式の両辺に２をかけただけだし、第３式は第１式の両辺に３をかけただけです。
実質的に方程式は１つです。
恒等式ではないので、x , y , z に勝手な値を代入しても等式が成り立つとは限らないですが、どの未知数も確定はしません。
( x , y , z ) = ( -2y+z+2 , y , z )


>　えーと、たとえば、一次の連立方程式ですが、
>　x + 2y - z = 0
>　4x + 3y - 4z = 5
>　x + y - z = 1
>　
>　仮に第3の式で右辺が1以外だったら、式が相互に矛盾しているので
>　x, y, zを満たす値は存在しないことになります。

第3の式で右辺が1以外の例
　x + 2y - z = 0 … (1)
　4x + 3y - 4z = 5 … (2)
　x + y - z = 0 … (3)

とりあえずyの値を求めてみます。
(1)×4 － (2) 　を作ると、　5y = -5
よって、 y = -1

しかし別のやりかたでyを求めると、
(2) － (3)×4　を作ると、　-y = 5
よって、 y = -5

(1) － (3) 　を作ると、　　y = 0

どのやり方でも、ｙ＝定数　を導き出せる。
しかし、値は相互に矛盾します。

つまり、未知数＝定数　を導き出せても、それでその未知数の値が確定したことにはならないことがわかりました。

補足日時：2003/04/29 01:19

No.10 回答者： mmky 回答日時： 2003/04/28 13:04

参考程度に

２x^2 －x －６ ＝ ０　…　(1)
　x^2 ＋x －１２＝０　…　(2)

方程式-（1）
２x^2 －x －６=0
(1)の解：x={1±√1+48}/4={1±7}/4= 2,-3/2
方程式-（2）
x^2 ＋x －１２＝０
(2)の解：x={-1±√1+48}/2={-1±7}/2= 3, -4
(1)も（2）も独立の解があり、その解がすべて異なる場合は両方の方程式の共通の解はないわけですから、連立は成立しませんね。

加算すれば新しい方程式になりますね。
3x^2 －18=0
x=±√6

引けば新しい方程式になりますね。
x＾2-2x+6=0
x={2±√4-24}/2={2±√-20}/2

X＾2=Yとおけば新しい方程式になりますね。
2Y－x －６ ＝ ０
Y ＋x －１２＝０

Y=(1/2)x+3
Y=-x+12
(1/2)x+3=-x+12
=(3/2)x=+9
x=+6

つまり式（1）と（2）に共通通の解はないというだからですね。グラフにしてみれば、接点がないということでわかるでしょうかね。

この回答への補足

質問の連立方程式は、(1)、(2)それぞれが独立して解が決まります。
このような場合、(1)、(2)を別々に解き解を求め、
「共通の解はないかなあ」
と探すのもいいと思います。

しかし、
２次方程式を解くには、多くの場合、因数分解するか解の公式を使わなくてはいけませんから、（そういう作業が苦手な私のような人にとっては）面倒だという気もします。

　2x^2 + 3x + 1 = 0
　2x^2 + x + 3 = 0
のような場合、言い換えると、
２つの２次方程式から成る連立方程式（未知数は１つ）があるときに、
x^2の係数が等しい場合は辺々引いて（x^2の係数の絶対値が等しく異符号のときは辺々足して）、
さっさと2次の項を消して1次方程式を作りxを求め、十分性の確認は後で行うのも一つの手かなあ、と思います。

また、２つの２次方程式から成る連立方程式（未知数は１つ）があるときに、xの係数が等しい場合は辺々引いて、１次の項を消して、1次の項のない2次方程式を作り、それを解き、元の方程式に当てはめるという「十分性の確認」はそのあと行う、というやり方もあります。ただ、この場合、新しく作った２次方程式を解くことも面倒だし、その解も大抵２つあるでしょうから、手間がかかります。
どうせ項を消去するなら、なるべくならば2次の項を消去して、1次方程式を作ったほうが楽だと思います。

共通の解がある連立方程式の例
　2x^2 - 9x + 9 = 0
　2x^2 -11x +15 = 0
辺々引いて、　2x - 6 = 0
よって、　　　 x = 3
あとはこれを元の方程式に代入して左辺が0になるかどうか確認すると、解になっていることがわかる。


２x^2 －x －６ ＝ ０　…　(1)
　x^2 ＋x －１２＝０　…　(2)
>つまり式（1）と（2）に共通通の解はないというだからですね。グラフにしてみれば、接点がないということでわかるでしょうかね。

残念ながら、私には、(1)、(2)のグラフをどのようにかくのかがわかりません。
(1)をかくときには、　ｙ＝２x^2 －x －６　と　ｙ＝０　をかく
(2)をかくときには、　ｙ＝x^2 ＋x －１２　と　ｙ＝０　をかく
という意味でしょうか。

補足日時：2003/04/28 22:56

No.8 回答者： liar_adan 回答日時： 2003/04/28 00:53

>>「一つの式につき一つの未知数が確定する」という法則があります(例外はあるが)。

>もしよろしければその「例外」をお教えいただくと幸いです。

えーと、たとえば、一次の連立方程式ですが、
x + 2y - z = 0
4x + 3y - 4z = 5
x + y - z = 1
未知数も式も3つですが、
これは解が出ません。
なぜかというと、第一の式と第二の式を足すと、
第三の式と等価な式になるからです。
式が3つあっても、実質二つです。
こういうのを「線形従属」といいます。(それ以外は「線形独立」と言う)
この場合、値は未定。
仮に第3の式で右辺が1以外だったら、式が相互に矛盾しているので
x, y, zを満たす値は存在しないことになります。

「一つの式につき一つの未知数が確定する」を証明をしようとすると
いささか難しかったと思います。
一次式だけの場合は線形代数の分野でできると思いますが、
2次式以上がからんでくると、代数学の範囲でしょう。
(私も昔、代数学を習ったのですが、証明はできません)

この回答への補足

補足に対してお答えありがとうございます。

「線形独立」とか「線形従属」とかいう言葉はどこか本で見たことがあります。
しかし、その内容までは私はよくわかりません。

ご回答の連立方程式の例ですが、
　　x + 2y - z = 0 　…[1]
　　4x + 3y - 4z = 5 …[2]
　　x + y - z = 1 　 …[3]
>　未知数も式も3つですが、
>　これは解が出ません。
>　なぜかというと、第一の式と第二の式を足すと、
>　第三の式と等価な式になるからです。

なるほど～、第一式と第二式を足すと、
5x + 5y - 5z = 5
となり、両辺を5でわると、第三の式になりますね。

このご回答の例もとてもわかりやすい例ですね。

しかし、私はこの連立方程式を解こうと思いました。
[3]の両辺に4をかけると
　4x + 4y - 4z = 4
これを[2]から辺々引くと、
-y = 1
よって、　y = -1　…[4]
となります。
[4]を[3]に代入すると、
x + (-1) - z = 1
よって、
x - z = 2
x = z + 2 　…[5]
となります。
[4]と[5]を　[1]に代入すると、
( z + 2 ) + 2・(-1) - z = 0
となりますが、
この左辺は0になるので、xもzも確定しません。

しかし、yについてはとにかく　y = 定数
という式[4]が得られました。
従って、解としては、
( x , y , z ) = ( z + 2 , -1 , z )
となるのでしょうか。
多分これでいいと思います。

少なくとも、yについては 　
未知数＝定数
が導き出せたので、これは確定でいいんですよね？

補足日時：2003/04/28 07:01

No.7 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2003/04/27 22:51

問題自体は別に数学的には正しいですが，「解なし」が答えという問題です．

２x^2 －x －６ ＝ ０　…　(1)
　x^2 ＋x －１２＝０　…　(2)

(1)を解くと
(2x+3)(x-2)=0
x＝-3/2，2・・・(1')

(2)を解くと
(x+4)(x-3)＝0
x＝－4，3・・・（2'）

求める条件は（１）かつ（２），つまり（１）と（２）を同時に満たすｘ(の集合)．

ところが（1)⇔（1')，(2)⇔(2')より
（１）かつ（２）⇔（１'）かつ（２'）ですが，明らかに（１'）と（２’）の両者を同時に満たすｘは存在しません．

＞ここでおかしいことは、１番目のやりかたと２番目のやりかたで解が違うことです。
また、私の計算では、いずれの解ももとの方程式を満たさないようです。

もともと存在しないものを求めようとしているのが原因で，
必要条件として　x ＝ ±√6 とか　x ＝ ６ などの解の候補が得られたら，本当に全ての式を満たすこと（十分性）を確認しなくてはなりません．
今の場合，実際確かめてみると，満たしていなかったわけで，結局「解なし」が答えです．
共通解がもしあるとすれば（実は存在しないのですが），その候補として，ある解法では　x ＝ ±√6，別の解法では　x ＝ ６ と出てきただけで，それらはまだ容疑者に過ぎません．実は確かめてみると，もともとホシはいなかったというオチですね．

＞どのような連立方程式なら辺々足したり代入したりできて、
どのような連立方程式の場合は辺々足したり代入したりができないのでしょうか。

操作自体は間違っていませんが，求める条件との同値性を厳格に保証しつつやるか（大変なことも多い），さもなくばとりあえず必要条件で候補を絞ってから，全てを満たすことを確かめること（十分性の確認）をしなくては，正しい結果は得られません．
連立不等式とかでなければ，後者の方がさしあたりはやりやすいことも多いです．

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

いろいろ考えた結果、解はないようです。

>問題自体は別に数学的には正しいですが，「解なし」が答えという問題です．

どうやらそのようです。
解がないなら「解なし」というのが答えであって、「問題が間違っているから答える必要はない」というわけにはいかないでしょう。

でも、普通、連立方程式が与えられたら、十分条件など考えずに、
辺々足したり引いたり、とにかく
未知数＝定数
という式を導き出し、その定数を解とします。
ｘ＝６、ｙ＝３
という式が得られたら、
「（ｘ,ｙ）＝（６,３）が得られて一見これが犯人らしいけど、これは容疑者であるだけ本当は犯人じゃないかもしれないので、元のすべての式が成り立つかちゃんとあてはめて確めなくてはいけないだろう」
と考えずに、それを解とします。

>必要条件で候補を絞ってから，全てを満たすことを確かめること（十分性の確認）をしなくては，正しい結果は得られません．

そのようです。
No.4で既に指摘があるように、
今回の場合、方程式は２本で未知数が１個しかないからこのような問題が起きました。

それでは、方程式の個数と未知数の個数が同じなら、「十分性の確認」をせずに辺々たしたり引いたり代入したりして、未知数＝定数　を導ければ、その定数は解になると言い切れるのでしょうか。それをお聞きしたいです。

分数方程式・無理方程式を除く（すべて整式）という條件のもとの話でけっこうです。


とにかく、ご回答はとても叮嚀でありがとうございました。

補足日時：2003/04/27 23:57

この回答へのお礼

>それでは、方程式の個数と未知数の個数が同じなら、「十分性の確認」をせずに辺々たしたり引いたり代入したりして、未知数＝定数　を導ければ、その定数は解になると言い切れるのでしょうか。それをお聞きしたいです。
>
>分数方程式・無理方程式を除く（すべて整式）という條件のもとの話でけっこうです。

と補足で書きましたが、
あと、係数は（定数項を含めて）すべて実数ということにしてください。
（というか、係数が実数でない方程式など考えたことないので。）

お礼日時：2003/04/28 00:13

No.6 回答者： Chararara 回答日時： 2003/04/27 22:43

#3です。

書き間違えました。
(1)と(2)を逆に置き換えて読んでください。

この回答へのお礼

わかりました。ありがとうございます。

お礼日時：2003/04/28 00:20

No.5 回答者： taknt 回答日時： 2003/04/27 22:37

この問題って間違ってない？

というか、それぞれバラバラだと思いますが・・・

＞２x^2 －x －６ ＝ ０　…　(1)
x=2

＞　x^2 ＋x －１２＝０　…　(2)
x=3

(1)と（２）で解が違いますよ。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2003/04/28 00:19

No.4 回答者： liar_adan 回答日時： 2003/04/27 22:31

お気付きではあると思いますが、

(1)の式と(2)の式から独自にxの解が出て、
しかもそれぞれ違います。

2次方程式ではなく、
1次方程式だったら、と考えるとわかりやすいかと思います。
(1) … x - 4 = 0
(2) … x - 6 = 0

これを辺々足すと、2x - 10 = 0となり、
解はx = 5となります。しかしこれはどちらの式も満たしていません。

これは「解の自由度」の問題であると思います。
「一つの式につき一つの未知数が確定する」という法則があります(例外はあるが)。
問題の式は、未知数が1つなのに式が二つあります。
この場合うまくいかないわけでしょう。

この回答への補足

ご回答ありがとうございました。参考にさせていただきます。
１次方程式の例もとてもわかりやすかったです。

>「一つの式につき一つの未知数が確定する」という法則があります(例外はあるが)。

もしよろしければその「例外」をお教えいただくと幸いです。

補足日時：2003/04/28 00:02

No.3 回答者： Chararara 回答日時： 2003/04/27 22:28

(1)と(2)は、それぞれ独立してxが決まるので、連立方程式になってません。

つまり、(1)は
(x+4)(x-3)=0なので、x=3,-4が答えになり、
(2)は
(x+(3/2))(x-2)=0なので、x=2,-3/2が答えになります。

もし問題が、例えば、
２x^2 －x －６ ＝ y
　x^2 ＋x －１２＝y
のように２変数であれば、連立方程式の問題になります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2003/04/28 00:07

No.2 回答者： arukamun 回答日時： 2003/04/27 22:27

x^2をXと置いたのであれば、xも√Xとしなくては計算が合わなくなると思います。

この回答への補足

>x^2をXと置いたのであれば、xも√Xとしなくては計算が合わなくなると思います。

それでは、
(1)、(2)でx^2をＸとおき、xを√Ｘとおくと、
２Ｘ －√Ｘ －６ ＝ ０　…　(3)
　Ｘ ＋√Ｘ －１２＝０　…　(4)

(3)と(4)で辺々足して、
３Ｘ－１８＝０
３Ｘ＝１８
Ｘ＝６
でよろしいでしょうか。

補足日時：2003/04/27 22:37