連立方程式について

先日連立方程式について質問させて頂きましたが、
方程式が同じというのはどういう意味なのでしょうか。
解が等しければ同じ方程式ということですか？
例 x+y=2 両辺に2をかけると→2X+2y=4
この2つの方程式が同じとはどういうことなのかということです。

質問者からの補足コメント

• 例のふたつの方程式は解がおなじですが、解が同じということは、ふたつの方程式は同じ式ということになるのですか？式がおなじという意味が分かりません

    補足日時：2022/06/25 19:58

• ①の両辺を二倍すれば②になるわけですから、そう言う意味では「①と②は同じ方程式」と呼ぶ事もできます。
  →なぜ両辺を2倍すると同じ方程式だといえるのですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/25 21:29

• どうしてそうなるのですか？

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/27 16:38

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/30 03:33

「同じ方程式」という言葉に、数学上明確な定義があるのかな？

解が等しければ「同値な」方程式と言いますが、
「同じ」方程式と言ったら、文字列として同じものを指すような気がする。

No.7 回答者： ssaw 回答日時： 2022/06/27 19:17

分子と分母に0以外の同じ数を掛けた結果は元の数と同じ

というのと同様くらいに考えておけばいいのではないでしょうか。
1/2 = 2/4 = 3/6 = ……
といったように、表記は違っても数は同じです。

y/x = 3/4 は 変形すると3x-4y=0になります。
これはxとyに対する制約を表していますが、
y/x = 6/8
6x-8y=0 でも表している制約は同じです。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/06/26 10:54

式①、②が有って

①から②を導くことができ
②から①を導くことができるなら
①と②は同じ式です。

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2022/06/25 21:38

補足の問いに対してですが、前述のように①の両辺を二倍したら②と全く同じ式になるでしょう。

これは「同じと考える」ではなくて正真正銘「同じ式」です。見た目が全く同じですから。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/25 21:15

x+y=2…(1)

↓両辺に2をかけると
2x+2y=4…(2)
↓両辺を2で割ると
x+y=2…(1)

(1)→(2)が成り立つ
(2)→(1)が成り立つ
から
(1)と(2)は同値といいます

2つの方程式は同値

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2022/06/25 21:09

厳密に言えば「解が同じならば 2つは同じ式」とは言えないでしょう。

但し x+y=1 と 2x+2y=2 の様に 片方から他方の式が 導かれる場合は、
同じ式と云ってよいと思います。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2022/06/25 20:48

「方程式が同じとはどう言う意味か」は端的に言えば「使う人によって意味が変わる」と言って差し支えないと思います。

早い話、次の二つの方程式を見比べて下さい。

x+y=1…①

2x+2y=2…②

①と②は明らかに見た目が違いますよね。そう言う意味では「①と②は違う方程式」と言わざるを得ないでしょう。ところで①の両辺を二倍すれば②になるわけですから、そう言う意味では「①と②は同じ方程式」と呼ぶ事もできます。なので①と②が同じ方程式かどうかは「観点の違いによって変わる」と言う事になります。

No.1 回答者： raizo-ichikawa 回答日時： 2022/06/25 19:50

↓これは連立包茎式として成立していません。

解いてみれば分かります。

x+y=2…(1)
2X+2y=4…(2)