三次方程式の解として

a,b,cを有理数としたとき、　
　x^3+ax^2+bx+c=0
となるｘが、有理数となる条件は書き下せるでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： pythons5 回答日時： 2024/04/14 12:35

はい、もちろんです。

与えられた方程式 x^3 + ax^2 + bx + c = 0$$ に対して、\( x \) が有理数となる条件は、**有理根定理**（または**整数根定理**）を用いて求めることができます。この定理によると、\( a, b, c \) が整数であるとき、方程式の有理数解は、定数項 \( c \) の約数を \( a \) の最高次係数の約数で割った形の数になります。

つまり、\( c \) の約数を \( p \)、\( a \) の約数を \( q \) とした場合、有理数解 \( x \) は $$x = \frac{p}{q}$$ の形で表され、ここで \( p \) と \( q \) は互いに素な整数（つまり、最大公約数が1）でなければなりません。

ただし、\( a, b, c \) が有理数である場合は、それぞれを共通の分母を持つように表し、整数係数の方程式に変換してから有理根定理を適用する必要があります。このとき、変換された整数係数の方程式に対して有理根定理を用いて、元の方程式の有理数解を求めることができます。

以上の条件を満たす有理数解が存在するかどうかは、実際に約数を試してみることで確認できます。もし解が存在すれば、それは方程式の有理数解となります。また、全ての可能な \( p/q \) を試しても解が見つからない場合は、その方程式には有理数解が存在しないということになります。この方法で、有理数解の存在を調べることができます。

No.4 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2024/04/15 15:06

カルダノの公式に変形し、判定式をつかって可能です。

以下のページに詳しく書かれています。
https://fermiumbay13.hatenablog.com/entry/2019/0 …

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2024/04/14 21:21

「条件は書き下せるでしょうか？」の質問なら、

単純に 有理数の範囲で 下記の様に 因数分解出来るとき。
x³+ax²+bx+c=(x+p)(x+s)(x+t) 又は、
x³+ax²+bx+c=(x+p)²(x+s) 。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/14 12:34

書けるっちゃあ書けるけれど...

Q(x)/(x^3+ax^2+bx+c) 〜 Q
書いて何か意味有るのか？って気はする。