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数学の問題です。
実数x、yが、x^2+3y^2=9を満たすとき、x+y^2ー1の最大値と最小値を求めなさい。
また、最大値と最小値をとるときのx、yの値をそれぞれ求めなさい。
がわかりません。教えてください

A 回答 (4件)

実数x、yが、


x^2+3y^2=9
を満たすとき、
0≦3y^2=9-x^2
y^2=3-x^2/3
x^2-9≦0
(x+3)(x-3)≦0
-3≦x≦3

f(x)
=x+y^2-1
=x+3-x^2/3-1
=2+x-x^2/3
=11/4-(x-3/2)^2/3

f(-3)=2-3-3=-4
f(3)=2+3-3=2

x=-3のとき
x^2=9
y=0

x=3/2のとき
x^2=9/4
y^2=3-3/4=9/4
y=±3/2

x=3/2,y=±3/2のとき
最大値は
11/4

x=-3,y=0のとき
最小値は
-4
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x^2+3y^2=9→y^2=-(1/3)x^2+3


これをx+y^2-1に代入すると
f(x)=-(1/3)x^2+x+2 但し、-3≦x≦3
と範囲付の上に凸な放物線の最大最小問題になります。

後は簡単。
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    • 3

No.1 です。


最初のところを間違えていました。
「短径 √3 」は「y 軸上」で、
「楕円の内部」ではなく「楕円そのものの上」ですね。

(誤)
>実数x、yが、x^2+3y^2=9を満たすとき

それは、xy 平面に書けば
①「原点を中心として、x 軸上に長径 3、x 軸上に短径 √3 の楕円の内部」
ということです。



(正)
>実数x、yが、x^2+3y^2=9を満たすとき

それは、xy 平面に書けば
①「原点を中心として、x 軸上に長径 3、y 軸上に短径 √3 の楕円の上」
ということです。
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>実数x、yが、x^2+3y^2=9を満たすとき



それは、xy 平面に書けば
①「原点を中心として、x 軸上に長径 3、x 軸上に短径 √3 の楕円の内部」
ということです。

>x+y^2ー1の最大値と最小値

これは
 x + y^2 - 1 = k    (A)
と置いたときの「k の最大値、最小値」ということです。
これを書きかえれば
 x = -y^2 + k + 1    ②
ですから、「横向きで、右に凸の放物線」ですね。

従って、ここで求めるのは
①と②が共有点をもつ中で、②の k の最大・最小(k + 1 が「x 切片」つまり「放物線の頂点の x 座標」になる)
です。
つまり、①と②が共有点をもつ中で、
・②の放物線が最も「左」にあるときに k + 1 が最小
・②の放物線が最も「右」にあるときに k + 1 が最大
になるということです。

放物線が最も「左」にあるのは、その頂点が①の楕円の左端 (-3, 0) にあるときだと分かりますね。
つまり
 k + 1 = -3 → k = -4
が最小値になるでしょう。

放物線が最も「右」にあるのは、放物線と楕円が接するときなので、これは計算しないと求まらないでしょう。
それは自分でやってみてください。
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