高一 二次関数 Q,二次方程式x^2 + mx + 2 = 0 が次の条件を満たすとき、定数mの値の

高一 二次関数
Q,二次方程式x^2 + mx + 2 = 0 が次の条件を満たすとき、定数mの値の範囲を求めなさい。
異なる2つの正の解をもつ。

解いてみたのですが、解答を見ると y軸との交点を踏まえていません。
たしかにy軸の交点はおかしいです…
なぜy軸との交点を踏まえていないのでしょうか？
過程は合っていますか？

A,m＜−2√2

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/06/13 00:35

そこに書いてあるのはあなたの解？

変な解だ。
どこから y が出てきたのだ？

y = x^2 + mx + 2 として「x-y 平面上の曲線を考える」という前提条件が必要でしょう。

y 軸との交点は x=0 のとき y=2 だし。
なんで x=2 なんだ？

全く意味不明。

ふつうは平方完成の形にして
　y = (x + m/2)^2 - m^4 /4 + 2
これは「下に凸の放物線」で
軸は
　x = -m/2
頂点は
　(-m/2, -m^4 /4 + 2)

従って、異なる正の実数解をもつための条件は
・軸は 0<-m/2　　　①　
・頂点の y 座標はx軸の下なので、-m^4 /4 + 2 < 0　　②

①より
　m < 0
②より
　8 < m^2
この両方を同時に満足するのは
　m < -2√2

もし y 切片が負であれば、異なる正の実数解をもつことはないのは分かりますね？
2つの実数解をもつとしても、一方が正で、他方は負になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
平方完成の部分でミスをしていたことに気づけました。

なぜ x=2 だったのか、私の誤字です。すみません。

追加質問になってはしまうのですが
異なる正の実数解をもつための条件 の
・−m^4/4 + 2 ＜ 0 ② について。

参考書には
グラフとy軸との交点のy座標f(0)について
f(0)＞0 と記載されています。
ですが なぜ−m^4/4 + 2 ＜ 0 のように＜で解くのでしょうか？

お礼日時：2021/06/13 01:11

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/06/13 12:05

No.2 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞平方完成の部分でミスをしていたことに気づけました。

はい、お役に立ててよかったです。

＞追加質問になってはしまうのですが
＞異なる正の実数解をもつための条件 の
＞・−m^4/4 + 2 ＜ 0 ② について。
＞
＞参考書には
＞グラフとy軸との交点のy座標f(0)について
＞f(0)＞0 と記載されています。
＞ですが なぜ−m^4/4 + 2 ＜ 0 のように＜で解くのでしょうか？

「どのように解くか」を考える前に、「異なる2つの正の解をもつ」とはどういうことなのかを考えてみましょう。

#2 に書いたように、

平方完成の形にして
　y = (x + m/2)^2 - m^2 /4 + 2　　←この式 #1 では「m^4」と誤記していました。「m^2」が正しいです。
これは「下に凸の放物線」で
軸は
　x = -m/2
頂点は
　(-m/2, -m^2 /4 + 2)

というグラフを考えて、「グラフと x 軸との交点の x 座標が y=0 の二次方程式の解である」ということは分かりますよね？
y=0 つまり「y 座標が 0」ということが「x 軸との交点」ということですから。

ということから考えれば、放物線は「下に凸」なので
(a) まず、「頂点が x 軸よりも下になければ x 軸との交点はない。
ということなので、「頂点の y 座標は負」でなければなりません。
これが
　-m^2 /4 + 2 < 0　　　①
ということです。

実は、これは①に「-4」をかければ
　ｍ^2 - 8 > 0
となって、「二次方程式の解の判別式」と同じことです。
つまり「判別式」とは、「二次曲線のグラフが x 軸と共有点をもつための頂点の位置」と同じことなのです。

(b) 次に、その解がどのような値になるかを考えます。
#2 にも書いたように、y 切片つまり f(0) が
・f(0) > 0 であれば、グラフの x 軸との交点は
　「２つとも正」であるか
　「２つとも負」であるか
のどちらかです。
・f(0) < 0 であれば、グラフの x 軸との交点は
　「一方は正」で「他方は負」
です。

そうなることを、グラフを書いて確認してみてくださいね。

(c) 問題では f(0) = 2 なので、(b) の前半のケースです。
「２つとも正」か「２つとも負」のどちらか。
では「２つとも正」であるためには、追加で何が必要かというと
「軸 x=-m/2 が x>0 にある」
ということです。
軸が「正」で f(0)>0 なら、x 軸との交点は２つとも「正」であるといえます。


以上から、「異なる2つの正の解をもつ」ための条件は
　(i) 判別式が正であること。これは「下に凸の放物線の頂点が y<0 の領域にある」という条件と同じです。
（これは「異なる２つの実数解をもつ」ということです）
　(ii) y切片が f(0) > 0 であり、かつ軸が正であること。
（これは、その２つの実数解が「両方とも正」ということです）
が同時に成立することです。

　
＞参考書には
＞グラフとy軸との交点のy座標f(0)について
＞f(0)＞0 と記載されています。

それと「軸 x = -m/2 > 0」がセットになっていませんか？

＞ですが なぜ−m^4/4 + 2 ＜ 0 のように＜で解くのでしょうか？

上に書いたように「判別式」と同じことを、「グラフ」の観点で表わしているからです。

個々バラバラに見るのではなく、上の (i)(ii) のように、それを満足する条件は何か、という観点で全体を見る必要があります。

この回答へのお礼

追加質問への回答までありがとうございます。

今まではただ公式に当てはめて解いていただけでしたが、グラフと一緒に考えることによって深く理解することが出来ました。
おかげで解き直しも出来ました。ありがとうございました。

お礼日時：2021/06/13 18:16

No.1 回答者： ほえほえ 回答日時： 2021/06/12 23:19

x=0でy=2と求めている。

下に凸の放物線なので軸が正なら解は正になることが分かる。あとは判別式で解が二つである条件を求める。(共通部分を答えとして出す。)