高校数学について 2次不等式で x＜2、5＜x という回答になる条件ってなんですか ax²+bx+c

高校数学について
2次不等式で x＜2、5＜x
という回答になる条件ってなんですか
ax²+bx+c＞0なら全て上記のようになるのですか？

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2022/10/07 14:20

「2次不等式で x＜2、5＜x」同時に満足することはありませんから、

「x<2 又は 5<x 」ですね。
例えば x²-7x+10>0 ならば x<2 又は 5<x になります。
x²-7x+10=(x-2)(x-5)>0 で、2つの積が 正 ならば 同符号です。
つまり ax²+bx+c>0 で a>0 の場合です。

但し -x²+7x-10>0 ならば 2<x<5 となります。
x²-7x+10=(x-2)(x-5)<0 で、2つの積が 負 ならば 異符号です。
a<0 の場合は α<x<β の様な 形になります。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/10/07 11:55

a(x-2)(x-5) > 0 (a≧0)

条件としては

下に凸で(a>0) x軸と 2 と 5 で交わる。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/10/07 00:54

No.1 です。

＞ax²+bx+c＞0なら全て上記のようになるのですか？

a>0 なら、#1 のように
　a(x - A)(x - B) >0
のような形です。

展開してみれば分かるように
A + B = -b/a
AB = c
になります。

しかし、もし a<0 なら
　ax^2 + bx + c < 0
の形になります。
これを
　a(x - A)(x - B) < 0
として a<0 で割ると不等号の向きが変わって
　　(x - A)(x - B) > 0
になるからです。

たとえば、#1 のように、x<2、5<x となる不等式①は
　x^2 - 7x + 10 > 0
ですが、x^2 の係数を「-1」にしたら
　-x^2 + 7x - 10 < 0
という不等式になります。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/10/07 00:41

＞2次不等式で x＜2、5＜x

という回答になる条件

(x - 2)(x - 5) > 0　　　　①

です。

「かけてプラス」ということは、両方がプラス、あるいは両方がマイナスということですから

(i) x - 2 > 0 かつ x - 5 > 0
あるいは
(ii) x - 2 < 0 かつ x - 5 < 0

ということです。

(i) は 2 < x かつ 5 < x ですから、両方を満たすのは
　5 < x

(ii) は 2 > x かつ 5 > x ですから、両方を満たすのは
　x < 2

ということになります。


これを後ろから前にたどっていけば、x<2、5<x となる不等式は①だということが分かりますね。


①が、もし不等号の向きが逆の
　(x - 2)(x - 5) < 0　　　　②
だったら、その解答は
　2 < x < 5
になることが、同じような論法で導きだせますよね？

「かけてマイナス」なら「一方がプラス、かつ他方がマイナス」ということですから。