不等式|ax+1| ≦ bの解が -1≦ x ≦ 5のときaとbと求めよ。（麻布大） 上記の問題で

不等式|ax+1| ≦ bの解が -1≦ x ≦ 5のときaとbと求めよ。（麻布大）

上記の問題で
-b ≦ ax+1 ≦ b
-b-1 ≦ ax ≦ b-1

a > 0 のとき
-b-1/a ≦ x ≦ b-1/a

a < 0のとき
b-1/a ≦ x ≦ -b-1/a

a=0のとき
-1≦ x 5≦ にならない

〜〜〜〜

a > 0 のときとa < 0のときで場合わけして
a=-1/2,b=3/2


上記のように解説が書いてあります。

そこで2点質問で
a=0のとき
-1≦ x 5≦ にならない　これってなぜですか？
b ≧ 1は全ての実数で成り立ってしまうから(-1〜5の間に収まらない)
また、b < 1にはなり得ない

上記2点の認識でいるのですが合ってますでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/16 20:49

＞a=0のとき

＞-1≦ x 5≦ にならない　これってなぜですか？

やってみなはれ。
与不等式は
　|1| ≦ b　→　1 ≦ b
になって、x の値はどっかに行ってしまうので、「-1≦ x ≦ 5」にはならないでしょう？

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/16 21:24

補足

2つ目の疑問は、bを先にして考えないのが良いと思います


で、数直線を使って考えると良いですよ

例えば、aが正とすると

(-b-1)/a≦x≦(b-1)/a

は、

(-1/a)-(b/a)≦x≦(-1/a)+b/a

ということだが

この不等式の左辺は、数直線上で

(-1/a)地点からマイナス方向へb/aだけ進んだ位置…A

右辺は、(-1/a)地点からプラス方向へb/aだけ進んだ位置…B

を表してます

ゆえに、(-1/a)地点は、これら２つの位置の中間地点となります

だから、-1≦x≦5となるとき、

すなわち、これら両端の位置A、Bが-1と5であるためには、(-1/a)地点は、中点の+2地点でなければなりません

よって、(-1/a)＝2

しかし、これを満たすようなプラスのaは存在しない

だから、a＞0という場合わけは、不適切

と考えることができます

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/16 20:51

a＝０だと

-b-1≦0x≦b-1
に当てはまるxが無数にあるか
全くないか
のいづれかになるから
-1≦x≦5にはなりません
(小手調べ　
仮にb＝1と仮定すると
-2≦0x≦0　
その解は全てのx
bを他の値にしても、上記のようなxになることを確認してみるのも良いでしょう…)

２点目
丨ax+1丨≦bと有りますが
絶対値なので、この左辺は0以上です
このことから、bも0以上
これを念頭に
aが正のとき
(-b-1)/a≦x≦(b-1)/a
この不等式の両端が-1と5であれば良いから
(-b-1)/a＝-1…①
(b-1)/a＝5…2
となればよい
この連立を解くとb＝-3/2、a＝-1/2
で、aは正、bは正に反していると言うことです