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数学です。

2つの円が共有点をもつとき

とは、どういう状態ですか?

A 回答 (4件)

ふたつの円の半径と中心間の距離で決まります。


2つの円を A,B とし、半径を r₁、r₂ (r₁>r₂)、
2つの円の中心間の距離を R とします。

R>r₁+r₂ のとき、交点は無し。お互いに離れている。
R=r₁+r₂ のとき、交点は1つ。外側で接している。
r₁ーr₂ <R<r₁+r₂ のとき、交点は2つ。2点で交わっている。
R=r₁ーr₂ のとき、交点は1つ、内側で接している。
R<r₁ーr₂ のとき、交点は無し。Aの内側にBがある。
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図形的な意味は既に回答が出てますが、数式の上ではどうかというと…



第一の円の方程式が
  f(x,y) = 0 (f(x,y) = (x-a)^2 + (y-b)^2 - c^2 すなわち中心が(a,b)で半径|c|の円)
第二の円の方程式が
  g(x,y) = 0 (g(x,y) = (x-p)^2 + (y-q)^2 - r^2 すなわち中心が(p,q)で半径|r|の円)
であるとしましょう。なので、別の回答にある図は a=b=q=0, |c|=r1, |r|=r2, p = d にして、dをいろいろ変えてみた、という図になっているわけです。
 さてこのとき、連立方程式
  f(x,y) = 0
  g(x,y) = 0
の実数解(=これら二つの式を同時に満たすような実数のペア(x,y) )が「共有点」です。
 従って、「2つの円が共有点をもつ」とは、「上記の連立方程式が少なくとも1組の実数解を持つ」という意味です。

 じゃあ、この連立方程式をどうやって解くんだというと:
 xを定数だと思えば2本のyの2次方程式ですから、これらをyについて解く。そうすれば、yが消去できてxだけの方程式1本にまとまります。これを(頑張って)整理するとxの2次方程式が得られます。
 で、「2つの円が共有点をもつ」とは「この二次方程式の判別式Dが
  D≧0
である」ということです。

 余談ながら、
 D>0 なら共有点が2個ある。
 ではD=0なら共有点が1個かというと、そうは行かない。共有点が1個であるのは、D=0であってかつE=0である場合です。ここに、Eってのは何かというと: 
 yを定数だと思えば2本のxの2次方程式ですから、これらをxについて解く。そうすれば、xが消去できてyだけの方程式1本にまとまります。これを(頑張って)整理するとyの2次方程式が得られます。この二次方程式の判別式がEです。
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共有点をもつとき =共有点1個または2個


共有点をもたないとき=共有点0個(なし)
「数学です。 2つの円が共有点をもつとき 」の回答画像2
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重なってるときに2点が交差する(全部重なってはいない)

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