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連立一次方程式の不定解についての質問です。
不定解とはなんですか?2つの直線が重なっていて、無数の共有点を持っている状態ではありませんか?
また、不定解を持つための条件であるa1:a2=b1:b2=c1:c2はなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

「連立一次方程式の不定解についての質問です」の質問画像

A 回答 (6件)

> 2つの直線が重なっていて、無数の共有点を持っている状態ではありませんか?



はい。まさしくその通りです。

 一次方程式
  x - y = 0
の解は何か。「解けない」と言ったら誤りです。実際、(x,y)=(0,0)も、 (x,y)=(1,1)も、 (x,y)=(π,π)も解です。解が1個だとは限らないし、この場合には無限個の解がある。で、解の集合S
  S={ (x,y) | x - y = 0}
を直交座標でプロットすると直線が現れる。(それでこの方程式を「直線の方程式」と呼ぶ。)

 さて、連立一次方程式
  x - y = 0
  2x - 2y = 0
の解の集合T
  T={ (x,y) | x - y = 0 ∧ 2x - 2y = 0}
は Sと同じ集合ですね。("∧" は「and」あるいは「かつ」と読みます。)だからTの要素は無限個ある。これを「不定」と呼んでいる。

 ついでに、連立一次方程式
  x - y = 0
  x - y = 1
の解の集合U
  U={ (x,y) | x - y = 0 ∧ x - y = 1}
は空集合ですね。
  U=∅
これを「不能」と呼んでいる。そんだけのことです。

> 不定解を持つための条件

 「未知数の個数と同じ(かそれ以上)の個数の等式があるかのように見えていても、実はそのうちのいくつかが他の式の組み合わせで表せて(だから無いのと同じで)、実質的には未知数の個数より等式の個数の方が少ない」ということが生じているかどうか、という話です。
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意味的には、みなさんの言う通りです。

具体的には、
逆さまに考えればわかるでしょう つまり
a1:a2=b1:b2=c1:c2=p:q (p,qは定数とおく)とすれば
a1=(p/q)・a2 =k・a2    ・・・(1)
とおけば(k=(p・q)とおく) ただし p、qは0でないとする。
同様に b、©も同じ関係になるので ・・・(2)、(3)
(1)、(2)、(3)を(ア)式に代入すれば 結局
(ア)式は、(イ)の k倍になるから
見かけはちがっても、方程式としては同じもの
(つまり、0/k=0 だから)ただし kは0でないとなるから
つまり 直線的には一致するから解が無数に存在する。
 それに反して 交点がなければ 解はないことになる。
例えば
今 (ア)、(イ)の右辺が両方とも 0 または 同じ場合は不定解になるが
もし 一致しなければ 解はなしとなる。
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「不定解」とは、


解が複数あって、その方程式だけでは解がひとつに定まらない
という意味です。
一方、「不正解」というのは、解だと言っているものが間違っている
という意味で、
両者は全く異なります。
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a1:a2=b1:b2=c1:c2


は大雑把過ぎますね。

例えば
a1=0、b1=1、c1=1
a2=0、b2=2、c2=2
なら明らかに不定解だけど(解は直線y=-1上の全ての点)
0:0=1:2=1:2

は成立しない。

同じ直線になる条件はもうちょい場合分けが必要。
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「不定解」とは「解が 1つに定まらない」と云う事です。


文字に添え字を付けるのは めんどくさいので、
実際の数字で 説明します。
連立一次方程式で 不定解になるのは 次のような場合です。
2x+3y=4, 4x+6y=8 。
式が 2つあるように見えて 実は同じ式と云う事です。
つまり 2:4=3:6=4:8 これが 不定解を持つ 条件になります。
言い変えれば あなたが云う通り 同じ直線になります。
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添字が書きづらいから大文字と小文字にするけど


Ax + By + C = 0
ax + by + c = 0

y = - (Ax + C) / B
y = - (ax + c) / b

A / B = a / b
C / B = c / b

B = A b / a = C b / c
⇒ A / a = C / c
この値を p とすると

A = p a
C = p c

p c / B = c / b
⇒ B = p b

つまり
A = p a
B = p b
C = p c
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