x^nを(x-1)^2で割ったときの余りを求めよ

高校生です｡
x^nを(x-1)^2で割ったときの余りを求めよという問題についての質問です｡
商をQ(x)､余りをax+bとして
x^n={(x-1)^2}Q(x)+ax+bー①
両辺にx=1を代入して1=ax+bー②となるところまで分かりました｡
解答ではここで両辺をxで微分をして①にx=1を代入する、その式を②と連立させて解くとあるのですが、なぜここで微分をするという発想になるのでしょうか｡今回は微分してx=1を代入するとn=aとなりうまく計算できますが、このやり方は②と連立させる式ができない時にまず試してみるものでしょうか｡

質問者からの補足コメント

• ※すみません、誤字です
  ①にx=1を代入すると1=a+bー②

    補足日時：2022/04/23 16:53

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/04/23 16:24

微分を用いるのは割と良くみる

いわば定石の一つだと思います
反対に積分するなんていう手法が有効なケースもあるかな

この回答へのお礼

また同じような問題が出た時に微分を考えてみます!
ご回答ありがとうございました｡

お礼日時：2022/04/23 16:59

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/04/23 16:47

x^n={(x-1)^2}Q(x)+ax+b…①

両辺にx=1を代入して
1=ax+bではなく
1=a+b…②
です
①の両辺をxで微分すると
nx^(n-1)=2(x-1)Q(x)+{(x-1)^2}Q'(x)+a
両辺にx=1を代入して
n=a
これを②に代入すると
1=n+b
1-n=b

この回答へのお礼

誤字のご指摘ありがとうございます｡修正致しました｡
ご回答ありがとうございました｡

お礼日時：2022/04/23 17:02