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4の50乗を9で割った時の余りはいくつですか。

これわかる方いますか?

A 回答 (3件)

4^n mod 9 はnを1から並べると


4、7、1、4、7、1と循環するので
1+3x16=49番目は4(=4^49 mod 9)
その次(=4^50 mod 9)は7

答は7です。
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合同式、または、2項展開を使う。

余り=7

●合同式による方法
9≡0[mod9]だから両辺に7を掛けると、63≡0[mod9]
この両辺に1を足すと64≡1[mod9]①:64を9で割ると余り1

4⁵⁰=(4³)¹⁶×4²=64¹⁶×16
これに①を代入すると、64¹⁶×16≡1¹⁶×16≡16≡7[mod9]

●2項展開を使う方法
64¹⁶=(63+1)¹⁶=63¹⁶+○63¹⁵・1¹+・・・・・・+1¹⁶
1¹⁶以外の項は9で割り切れる。
余りが出るのは1¹⁶の項。

∴64¹⁶を9で割と余り1。それに16を掛けると余り16。
16を9で割ると余り7
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4^1÷9=4÷9=0余り4


4^2÷9=16÷9=1余り7
4^3÷9=64÷9=7余り1
4^4÷9=256÷9=28余り4
4^5÷9=1024÷9=113余り7

ということで3周期で余りが繰り返される。
よって、4^50÷9=4^(48+2)÷9より、余りは7になる。
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