これは証明になってる

？？なってますか？？？？
２ー＞１のほうです

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/07 21:35

v1,…,vnが一次独立

写像f:R^n→R^n,f(x)=Ax
とする
v1,…,vn
は
f(R^n)の一次独立な基底だから
f(R^n)の次元は
dim(f(R^n))=n=dim(R^n)
だから
f(R^n)=R^n
だから
fは全射
だから
任意の
y∈R^n
に対して
y=f(x)=Ax
となるようなx∈R^nが存在する

f(x)=f(a)
とすると
f(x-a)=f(x)-f(a)=0
だから
x-a=(x1,…,xn)
とすると
f(x-a)=A(x-a)=x1v1+…+xnvn=0
v1,…,vnが一次独立だから
x1=…=xn=0
だから
x-a=0
x=a
だから
fは単射
だから
fは全単射
だから
任意の
y∈R^n
に対して
y=f(x)=Ax
となるようなx∈R^nがただ1つ存在するから
x=A^(-1)y
となる
Aの逆行列A^(-1)が存在するから
∴
Aは正則

この回答へのお礼

いつも厳密に議論してくれてありがとうございます(´；ω；｀)

お礼日時：2024/06/07 21:39

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/07 18:36

>えどういう意味ですか？

例えば正則の定義はいっぱいあります。
(2)を正則の定義とするなら
証明は不要です。

>なんで使えない定理があるんですか？？

(2)→(1)もよく知られた定義/定理ですよ。
おそらく「定理です」で終わりにしてよい
問題ではないでしょう。問題の出て来た文脈
から使える定理を判断して解きましょう。

この回答へのお礼

でも私は正則の定義、は逆行列をもつことだ思います。だからこの場合はダメ？かなて思いました。

お礼日時：2024/06/07 20:28

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/07 16:45

正則の定義や前提として使える定理による。

この回答へのお礼

えどういう意味ですか？？なんで使えない定理があるんですか？？

お礼日時：2024/06/07 16:48

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/07 13:58

なってると思う。

話のスジは、それでいい。
問題は、行間がちゃんと埋まっているかどうかだが、
行が一次独立 ⇒ 全射,
全射 ⇒ 次元定理より単射,
全単射 ⇒ 可逆 ⇒ 正則
は、「自明」で済ませてよいような気もするし、
この (1)⇔(2) を示すような基礎的な議論では
ちゃんと記載しておかないとダメなような気もする。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/06/07 14:32