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今解析力学を勉強しているんですが、たまに「リウビルの定理」とか「リュービルの定理」とか言う物が出てきます。ネット上でそう言う単語があると言うことだけは分かったのですが今持っている教科書には何にも書いてないし…
誰か、リウビルの定理がどんな物か知っている人が今したら教えてください。

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A 回答 (1件)

こちらをどうぞ。



参考URL:http://www.a.phys.nagoya-u.ac.jp/~taka/lectures/ …
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この回答へのお礼

もはや完全に理解できる範囲を超えてます。(汗
一般相対論とかまだ全然分からない…

お礼日時:2004/08/07 22:00

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Qリウビルの定理が感覚的に理解できません

今読んでいる解析力学のテキストにリウビルの定理というのが
でてきました

リウビルの定理は、要は

ハミルトニアンの位相空間において、
幾つかの初期条件の違う点を代表点として選んだときに、
それらの点が時間経過とともにそれぞれ違った軌跡を描いても
点によって囲まれる領域の面積は不変である

ということと理解しました


しかし、初期条件の選び方(つまり位相空間内で点のスタートポイントをどこに決めるか)によっては、点の軌跡がそれぞれ定性的に異なることもあるかと思います。例えばある点はポテンシャルに閉じ込められて位相空間内のある箇所をぐるぐる回ったり、またある点は鞍点の流れに乗って遠くへ飛んでいったりと、、、

普通に考えて、一箇所でぐるぐる留まり続ける点と、一方で遠くへ飛んでいってしまう点から囲まれる領域の面積が不変であるはずがないと思うのですが、、飛んでいってしまう限りは点の間の距離が伸びていくと思うので、、


例えば(手元のテキストの問題そのままですが)

外力 F(q) = -q+q^2 のもとで1次元運動を行う質点
のハミルトニアンは
H = p^2/2m + (1/2)q^2 - (1/3)q^3
ですが、これの位相平面図は
原点(p=0,q=0)付近ではポテンシャルに囲まれて円を
描いていますが、ポテンシャル極大の外側では
外へ飛ばされるような軌跡になります


このような、運動が定性的に異なるような点を代表点として
選んでも、その点によって囲まれる領域は不変というのが
感覚的にどうも納得できません


なにか誤解をしていますでしょうか?

今読んでいる解析力学のテキストにリウビルの定理というのが
でてきました

リウビルの定理は、要は

ハミルトニアンの位相空間において、
幾つかの初期条件の違う点を代表点として選んだときに、
それらの点が時間経過とともにそれぞれ違った軌跡を描いても
点によって囲まれる領域の面積は不変である

ということと理解しました


しかし、初期条件の選び方(つまり位相空間内で点のスタートポイントをどこに決めるか)によっては、点の軌跡がそれぞれ定性的に異なることもあるかと思います。例え...続きを読む

Aベストアンサー

>飛んでいってしまう限りは点の間の距離が伸びていくと思うので、、

そう思う理由をどうぞ。


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