代数学Ⅲ体とガロア理論 桂利行 p23の定理1.5.16について この証明の｢位数がnの約数となるも

代数学Ⅲ体とガロア理論　桂利行　
p23の定理1.5.16について
この証明の｢位数がnの約数となるものはn個以下となる｣ならば.｢E*は巡回群になる｣
となるのはなぜでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： yukka771263 回答日時： 2020/02/15 11:38

E* の元のうち、位数が最大のものをｆとし、その位数をｎとする。

任意のx∈E*に対しx^n=1が成り立つことを示すために、
あるｇ∈E*に対しg^n≠１であると仮定し、ｇの位数をｍとする。
明らかにｍはｎの約数ではないので、ある素数ｐとある自然数ｋが存在して
ｍはp^kで割り切れる
ｎはp^(k-1)で割り切れるがp^kでは割り切れない
という状況が存在する。

巡回群についての基本的な性質により、
f^(p^(k-1)) の位数は n/p^(k-1)
g^(m/p^k) の位数は p^k
f^(p^(k-1))*g^(m/p^k) の位数が np
であることがわかる。

位数npの元が存在することは、ｎの最大性に反する。
よって、任意のx∈E*に対しx^n=1が成り立つことが示せた。
X^n=1の異なる根はｎ個以下であるから、|E*|≦ｎであり、
明らかに、E*はｆが生成する巡回群になるしかない。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
非常に端的でわかりやすい説明でとても助かります。
参考にさせていただきます。

お礼日時：2020/02/16 04:45

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2020/02/12 17:08

可換体論　永田　裳華房

の場合では、
49ページの定理2.5.2　がこの場合の定理の対応するものです。
そして、あなたが質問している内容は

47ページの

補題2.4.2
可換有限群Gについて、任意の素数ｑについて、x^q=1が
（Gで)ｑ個より多くの解は決して持たない⇒Gは巡回群

の証明があなたの質問に対する答えです。

これには、さらに2つの補題が必要となります。

たぶん、あなたの教科書ににも、
数ページ前に、同様の補題華、定理が書いてあると思います。

確認して見て下さい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私が理解していないため見つけられないのか回答いただいた命題は本書で発見できませんでした。
一度回答いただいた図書を参考にさせていただきます。

お礼日時：2020/02/14 18:35

No.1 回答者： 確変 回答日時： 2020/02/12 05:27

群 E^* の位数が |E^*| = (p₁^q₁) × (p₂^q₂) × ... × {(p_m)^(q_m)} と素因数分解され,

各 P_i を E^* のシロー p_i 部分群とする.
このとき, 各 P_i は E^* の正規部分群なので, E^* = P₁ × P₂ × ... × P_m である.
また, 各 P_i は位数 (p_i)^{(q_i)-1} の正規部分群をもち, それを N_i とする.
P_i - N_i の元は位数 (p_i)^(q_i) であるから, 各 P_i は巡回群であり, よって E^* も巡回群である.

大学数学を学ぶ者でありながら, まさかの丸投げ質問なので, あまり本気で説明していません.
貴方自身がどこまで考えて, どこで行き詰っているかを書けば, 補足質問を受け付けます.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2020/02/14 18:30