p群G

「ｐが2でないときp群Gが位数ｐの部分群をただひとつ有するときGは巡回群」の帰納法による証明で
指数ｐの部分群Hは巡回群になるのはわかるのですが、つぎに「この指数ｐの部分群がただひとつしかないならGは巡回群になる」とあってどうして巡回群になるのかわかりません。｛指数ｐの部分群がただひとつなるのはわかるのですが。｝

質問者からの補足コメント

• 

  帰納法の仮定より指数ｐの部分群は巡回群である。これがただひとつしかなければGは巡回群である。HとKを指数ｐの部分群とする。中略。位数ｐの部分群が2こ以上ある。矛盾。Gは巡回群。
  質問は最初の部分にでてくるので全体とは関係ないとおもいます。中略の部分群が2こ以上あるの部分の証明は長いです。

    補足日時：2022/10/08 18:48

• 

  Gの位数に関する帰納法による証明です。最初の部分は省略してないです

    補足日時：2022/10/09 10:12

• 

  (a)⊂K⊂Gとなる指数pの部分群Kはどのように求めるのですか

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/10/09 18:15

• 

  「だから(a^p)⊂(b^p)⊂H」で
  (a^p)⊂H、　(b^p)⊂Hから　(a^p)⊂(b^p)⊂Hの大中小の包含関係がでてくるのですか。
  「b∈G-KだからK≠G」でb∈G-Kはどうしてですか。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/10/11 18:07

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/11 19:31

p群Gの位数をp^nとすると

指数pの部分群Hの位数はp^(n-1)
Hに属さない元を
a∈G-H
とする
Hの指数はpだから
a^p∈H
だから
a^pから生成される巡回群を
(a^p)
とすると
(a^p)⊂H

(a^p)≠Hと仮定すると
Hの位数はp^(n-1)だから
(a^p)の位数p^(n-2)以下になる

Hの生成元b∈Hに対して
b^pから生成される巡回群を
(b^p)
とすると
(b^p)はHのただひとつの位数p^(n-2)の部分群
だから
a^p∈H-(b^p)と仮定すると
a^pの位数はp^(n-1)となってp^(n-2)以下である事に矛盾するから
a^p∈(b^p)だから
(a^p)⊂(b^p)⊂H

aとb^pから生成される群を
K=(a,b^p)
とすると
(b^p)⊂K⊂G

a∈K-(b^p)だから
(b^p)≠K

b∈H-(b^p)⊂H-(a^p)=H-(a)
だから
b=(a^j)(b^(kp))となるj,kがあると仮定すると
a^j=b^(1-kp)∈H-(b^p)となって
(a)∩H=(a^p)⊂(b^p)
に矛盾するから
b∈H-Kだから
b∈G-Kだから
K≠G

|(b^p)|=p^(n-2)<|K|<p^n=|G|
だから
Kの位数はp^(n-1)
だから
Kの指数はp
a∈K-H
だから
K≠H
だから
指数pの部分群がHとKの2個あるから
指数pの部分群がただひとつしかない事に矛盾するから
(a^p)=H
a^pの位数はp^(n-1)だから
(a^p)^{p^(n-1)}=a^(p^n)=1
aの位数はp^nだから
(a)=G
∴
Gは巡回群である

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/10 21:03

p群Gの位数をp^nとすると

指数pの部分群Hの位数はp^(n-1)
Hに属さない元を
a∈G-H
とする
Hの指数はpだから
a^p∈H
だから
a^pから生成される巡回群を
(a^p)
とすると
(a^p)⊂H

(a^p)≠Hと仮定すると
Hの位数はp^(n-1)だから
(a^p)の位数はp^(n-2)以下になる

Hの生成元b∈Hに対して
b^pから生成される巡回群を
(b^p)
とすると
(b^p)はHのただひとつの位数p^(n-2)の部分群
だから
(a^p)⊂(b^p)⊂H

aとb^pから生成される群を
K=(a,b^p)
とすると
(b^p)⊂K⊂G

a∈K-(b^p)だから
(b^p)≠K
b∈G-Kだから
K≠G

|(b^p)|=p^(n-2)<|K|<p^n=|G|
だから
Kの位数はp^(n-1)
だから
Kの指数はp
a∈K-H
だから
K≠H
だから
指数pの部分群がHとKの2個あるから
指数pの部分群がただひとつしかない事に矛盾するから
(a^p)=H
a^pの位数はp^(n-1)だから
(a^p)^{p^(n-1)}=a^(p^n)=1
aの位数はp^nだから
(a)=G
∴
Gは巡回群である

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/09 17:21

p群Gの

指数pの部分群H
に対して
Hに属さない元を
a∈G-H
とする
aから生成される巡回群を
(a)
とする

(a)≠Gと仮定すると

(a)⊂K⊂G
となる
指数pの部分群Kがある
a∈K-H
だから
K≠H
だから
指数pの部分群がHとKの2個あるから
指数pの部分群がただひとつしかない事に矛盾するから
(a)=G
だから
∴
Gは巡回群である

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/09 11:31

＞ Gの位数に関する帰納法

それは、言葉遣いがよくないなあ。
Gがp-群であれば、Gの位数はp^n(ｎは自然数)。
位数そのものではなく、nについての帰納法でしょう？

No.2 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/10/08 18:57

ありがとうございます。

最初の部分だけで構わないので省略せず書いていただけると助かります。いきなり帰納法の仮定からといわれても分からないです…。何の本のどこに書いてあるのでしょうか？

No.1 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/10/08 14:47

その証明の全文を見せてもらえますか？そうすれば分かるかもしれません。