重複組み合わせ

x+y+z=21,1≦x≦10,1≦y≦10,1≦z≦10をみたす整数x,y,zの組は何通りあるか。

わからなかったので解答を見たのですが、わからなかったので質問させていただきます。
解答では、

X=10-x,Y=10-y,Z=10-zとして
X+Y+Z=9 0≦X,Y,Z≦9
　　　　
として、以下続いていきます。

なぜこのようになるのかが理解できません。考えれば考えるほどこんがらがってしまいました。重複組み合わせは理解しているつもりなのですが、重複組み合わせにいたるまでのこの過程で詰まっています。
典型的な問題なのでしょうが・・・分かりやすい解説をお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： mesenfants 回答日時： 2009/09/09 13:45

以下の形にすると、９つの球を３人（Ｘ、Ｙ、Ｚ）でわける（もらわない人がいてもいい）場合になります。

X+Y+Z=9 0≦X,Y,Z≦9　さえ求まれば、

○○○●○○○○●○○　→Ｘ（３個）、Ｙ（４個）、Ｚ（２個）
○○○●●○○○○○○　→Ｘ（３個）、Ｙ（０個）、Ｚ（６個）

と考えて、１１Ｃ２＝５５（通り）が簡単に求まります。

上の式にもっていけばあっさり出せると分かっているので、
どうにかして（何としても）（無理にでも）変形しているわけです。
あくまでも、

0≦X,Y,Z≦9

がほしいわけです。
ｘ（小文字）は１以上１０以下ですから、
Ｘ（大文字）が０以上になるには

Ｘ＝１０－ｘ

とするしかない。この式を思いつくかどうかが（場合分けを簡単にすませるための）分かれ目です。

これを小文字のｘｙｚでやると、少なくとも一個はもらえる場合の分け方で、
（２１－３＋２）Ｃ２＝２０Ｃ２＝１９０
ですが、１１個以上もらえる場合を引かねばならなくなり、とんでもなない計算になります。

この回答へのお礼

解説が非常に丁寧でとても参考になりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/09/09 23:36

No.3 回答者： topfall 回答日時： 2009/09/09 03:40

Ｘ＋Ｙ＝Ａとする　Ａ≦２０

Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝Ａ＋Ｚ

Ｚ＝１のときＡ＝２０　このとき(Ｘ，Ｙ)は(10,10)の１通り
Ｚ＝２　　　Ａ＝１９　　　　　　　　　　(10,9)と逆もありで２通り
Ｚ＝３　　　Ａ＝１８　　　　　　　　　　(9,9)・(10,8)と逆で３通り
Ｚ＝４　　　Ａ＝１７　　　　　　　　　　(10,7)と逆・(9,8)と逆で４通り
Ｚ＝５　　　Ａ＝１６　　　　　　　　　　(10,6)と逆・(9,7)と逆・(8,8)で５通り
Ｚ＝６　　　Ａ＝１５　　　　　　　　　　(10,5)と逆・(9,6)と逆(8,7)と逆で６通り
Ｚ＝７　　　Ａ＝１４　　　　　　　　　　(10,4)と逆・(9,5)と逆・(8,6)と逆(7,7)で７通り
Ｚ＝８　　　Ａ＝１３　　　　　　　　　　(10,3)と逆・(9,4)と逆・(8,5)と逆・(7,6)と逆で８通り
Ｚ＝９　　　Ａ＝１２　　　　　　　　　　(10,2)と逆・(9,3)と逆・(8,4)と逆・(7.5)と逆・(6,6)で９通り
Ｚ＝１０　　Ａ＝１１　　　　　　　　　　(10,1)と逆・(9,2)と逆・(8,3)と逆・(7,4)と逆・(6,5)と逆で１０通り

全部足して、５５通り

これを、式で工夫してあるだけです。
自分がわかりやすい方法で、理解できれば大丈夫です。

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/09/09 01:11

「うまい工夫」をしているというのが答えでしょうか。

そのまま重複組み合わせ（球を箱に選り分ける）を使おうとすると、xが10よりも大きくなる場合も数えてしまいます。
これは、x≦10の条件を満たさなくなります。y,zについても同様です。

「単純に」選り分けてもいいように、X,Y,Zを選んでいるということです。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2009/09/09 00:59

１＜＝ｘ＜＝１０なので１１＜＝ｙ＋ｚ＜＝２０。

ｙ＋ｚ＝１１のとき、ｙは１から１０の値をとり得る（１０通り）
ｙ＋ｚ＝１２だと２から１０（９通り）
ｙ＋ｚ＝１３だと３から１０（８通り）
・・・・
ｙ＋ｚ＝２０だと１０（１通り）
よって条件を満たすｙとｚの組み合わせは（１０＋１）＊１０／２＝５５通り。
従ってｘ、ｙ、ｚの組み合わせもこれと同数で５５通り。