痔になりやすい生活習慣とは?

『群Gの部分集合H,Kが部分群のときH∪KがGの部分群となる必要十分条件は何か』
という問題についてなのですが、

おそらくその条件は「H⊆K or K⊆H」だと予想して解こうとしているのですが、どうもうまく示すことができません。

・この予想は正しいのか
・正しいのならどう証明すればよいのか
この2点を明らかにしていただきたいと思っています。よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

正しいです。



H∪Kが部分群になるとき
H∪K=HKとなります。
いずれの包含関係も成立しないと仮定すると
h∈H∩(G-K)なるhとk∈K∩(G-H)なるkが存在する。
H∪Kは部分群であるからhk∈H∪Kに含まれる。
hk∈Hとすると(h^(-1))hk=k∈Hとなり矛盾
hk∈Kの場合も同様。(h∈Kがしたがう)
よって仮定は誤りで、H∪Kが部分群ならばいずれかの包含関係が成立。

また、逆は明らか。
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>H∪Kは部分群であるからhk∈H∪Kに含まれる。



間違えました。正しくは

H∪Kは部分群であるからhk∈H∪Kが成立。

です。
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この回答へのお礼

助かりました。本当にありがとうございます。

お礼日時:2008/07/06 14:22

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