2024.8.20 18:17にした質問の、 2024.8.28 15:15の解答の 「g(z)=t

2024.8.20 18:17にした質問の、

2024.8.28 15:15の解答の

「g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
の
ローラン展開
は
g(z)=Σ{m=-n-2～∞}a(m+n+1)(z-π/2)^m」

と

2024.8.28 09:21の解答の

「g(z)=Σ{n=-k～∞}a(n+1)(z-a)^(n+1)
は
間違っています

g(z)=Σ{m=-n-2～∞}a(m+n+1)(z-π/2)^m

としなければいけません」

に関して質問があります。

なぜg(z)=Σ{m=-n-2～∞}a(m+n+1)(z-π/2)^mの様に、mの変数を加える必要があるのでしょうか？
どうかmの変数を加える理由を教えて頂きたいです。

g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の分母の指数の(n+1)のnはf(z)=Σ[n=-∞～∞]a(n)(z-c)^nのnと同じnだと思う為、わざわざmの変数を加える必要がない様に思えます。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/08 13:14

うーん。

g(z) を級数展開するためには、∑ を走査する添字が必要
だったわけだが、そうやって一旦 m を導入してしまったら、
定義された m はただの整数値をとる変数であって
∑ を離れて各項単独で扱うことができるからなあ...

変数 n と m に何か質的な違いがあるわけじゃなく、
可変な定数 n を含む g(z) を級数展開するためには、
級数の添字が n とは別に必要だ ってだけの話。

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/10/07 20:48

>g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の分母の指数の(n+1)のnはf(z)=Σ[n=-∞～∞]a(n)(z-c)^nのnと同じnだと思う為、わざわざmの変数を加える必要がない様に思えます。

ここまで理解できていないとは驚いた。
この程度のレベルの理解でローラン展開をやることがどれほどバカげたことか理解できないのだろう。

本気で忠告する。
高校レベルの数学からやり直せ。
傍から見るとあきれるだけだ。
はっきり言うが、今の努力を10年続けても全く成長しない。現に、何年も努力しているようだが全く成長していない。(あなた自身は成長しているように感じるかもしれないが、それは幻覚にすぎない)

理解ができないだろうが説明しておく。
f(z)=Σ[n=-∞～∞]a(n)(z-c)^n
このnはkなりiなり別の文字に置き換えても全く同じである。
Σ[n=-∞～∞]a(n)(z-c)^n=Σ[i=-∞～∞]a(i)(z-c)^i
上の式のnやiはダミーの変数であり、計算結果にはnやiは出てこない。
単にnやiに全ての整数値を代入したものを足し合わせているに過ぎない。

g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の右辺のnはダミーではない。計算結果にnの値が入ってくる。
ダミーの変数とダミーではない実在の変数を同一視する、ホントにわかってる?

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/07 09:57

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

=Σ{m=-n-2～∞}a(m+n+1)(z-π/2)^mの様に、
mの変数を加える必要がないというのならどうするつもりなのでしょうか?

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の分母の指数の(n+1)のnは
f(z)=Σ[n=-∞～∞]a(n)(z-c)^nのnと同じnではありません

f(z)=Σ[n=-∞～∞]a(n)(z-c)^nのnはΣ記号の中だけで通用する局所変数で
n=-∞～∞のように全ての整数に変化するから

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の分母の指数の(n+1)のnとは違うのです

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=Σ{m=-n-2～∞}a(m+n+1)(z-π/2)^m
の
m=-n-2
の
mをnに変えたら
n=-n-2
2n=-2
n=-1となってしまうのだからmとnを同じ変数を使ってはいけません

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=Σ{m=-n-2～∞}a(m+n+1)(z-π/2)^m
は
Σ記号を使わないで書くと
tan(z)/(z-π/2)^(n+1)=a(-1)(z-π/2)^(-n-2)+a(0)(z-π/2)^(-n-1)+a(1)(z-π/2)^(-n)+a(2)(z-π/2)^(1-n)+…

となるのです

第1項はa(-1)(z-π/2)^(-n-2)
第2項はa(0)(z-π/2)^(-n-1)
第3項はa(1)(z-π/2)^(-n)
第4項はa(2)(z-π/2)^(1-n)
第5項はa(3)(z-π/2)^(2-n)
…
となるのだから
各項の次数をmとすると

m=-n-2次項はa(m+n+1)(z-π/2)^m
m=-n-1次項はa(m+n+1)(z-π/2)^m
m=-n次項はa(m+n+1)(z-π/2)^m
m=-n+1次項はa(m+n+1)(z-π/2)^m
m=-n+2次項はa(m+n+1)(z-π/2)^m

となるから

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)=Σ{m=-n-2～∞}a(m+n+1)(z-π/2)^m

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/07 09:01

g(z) を級数展開したら、項の番号を示す添字が必要になるでしょ？

それが m。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/07 04:56

Σ記号の意味が全くわかっていないようです

Σ記号の意味を理解しましょう

tan(z)はz=π/2で1位の極を持つから
tan(z)のz=π/2でのローラン展開は

tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n

↓Σ記号を使わないで書くと

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+…
tan(z)=a(-1)(z-π/2)^(-1)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+…

↓両辺を(z-π/2)^(n+1)で割ると

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)=a(-1)(z-π/2)^(-n-2)+a(0)(z-π/2)^(-n-1)+a(1)(z-π/2)^(-n)+a(2)(z-π/2)^(1-n)+…
tan(z)/(z-π/2)^(n+1)=a(-n-2+n+1)(z-π/2)^(-n-2)+a(-n-1+n+1)(z-π/2)^(-n-1)+a(-n+n+1)(z-π/2)^(-n)+a(1-n+n+2)(z-π/2)^(1-n)+…

↓Σ記号を使うと

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)=Σ[m=-n-2～∞]a(m+n+1)(z-π/2)^m