g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)のローラン展開 を導く為に、 a(n) =res(

g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)のローラン展開
を導く為に、

a(n)
=res(g(z),π/2)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(2πi)}∫{|z-π/2|=r}tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz
などの積分が難しくなる積分公式を使わずに、

a(n)
={1/(n+1)!}lim_(z->n/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
={1/(n+1)!}lim_(z->n/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
を使い、

g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)のローラン展開の式であるg(z)=Σ{m=-n-2～∞}a(m+n+1)(z-π/2)^mを展開して、ローラン展開したg(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の各a(n)をa(n)={1/(n+1)!}lim_(z->n/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)により求めて、各a(n)に代入して
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)のローラン展開を導いて次項(z-a)をずらす事でf(z)=tan(z)のローラン展開を導けると思うのですが、

仮に上記のやり方でf(z)=tan(z)のローラン展開を導ける場合は上記のやり方でf(z)=tan(z)のローラン展開を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• mtrajcp様、どうかこちらの質問に関しても答えて頂けると嬉しいです。

    補足日時：2024/08/31 10:46

• 「g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)のローラン展開を導いて次項(z-a)をずらす事でf(z)=tan(z)のローラン展開を導けると思うのですが、」
  
  の部分は正しくは
  
  「g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)のローラン展開を導いて次項(z-a)を(m+n+1)ずらす事でf(z)=tan(z)のローラン展開を導けると思うのですが、」
  
  です。

    補足日時：2024/08/31 10:53

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/31 16:47

a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->n/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

は
(z-π/2)tan(z)
を
(n+1)　回微分して
z->n/2　として
(n+1)!
で割ると
a(n)
になるという意味で

f(z)=tan(z)のローラン展開のn次項a(n)が求められるから
f(z)=tan(z)のローラン展開

f(z)=tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n

を導けるのです

f(z)=tan(z)のローラン展開
f(z)=tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
を導くためには

a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->n/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

を計算するしかないのです
n≧-1のとき
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->n/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
を
計算せよ

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/31 13:15

←補足 08/31 10:53

前回の質問で、繰り返し説明したでしょう？

tan(z)/(z-π/2)^(n+1) のローラン展開を経由して
tan(z) のローラン展開を導くには、
tan(z)/(z-π/2)^(n+1) のローラン展開が
tan(z) のローラン展開より簡単に求まるのでなければ
意味がありません。 そして、そうなるのは
n ≦ -2 の場合だけです。

n ≦ -2 であれば、
tan(z)/(z-π/2)^(n+1) が z = π/2 で正則なので、
tan(z)/(z-π/2)^(n+1) の z = π/2 を中心とするローラン展開は
テイラー展開となり、その各項の係数は
微分を使って順次求めることができます。

あなたの好きな例の公式
a(k) = { 1/(k+1)! } lim[z→π/2] (d/dz)^(k+1) { tan(z) (z-π/2) }
は、それを行っているのです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ありものがたり様。

あの、f(z)=tan(z)のn≦-2の場合は2024.8.20 18:17にした質問の2024.8.27 17:15と2024.8.27 20:04に頂いた解答により存在しないと言われたのですが、どうなのでしょうか？
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/08/31 22:52

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/31 00:21

御託はいいから、いい加減に

tan(ｘ) (x - π/2) をテイラー展開する方法を覚えなさいよ。