【至急！！】円柱の切断の側面積

急ぎで教えて欲しいです！！円柱の切断の問題です。円柱切断後の側面積の出し方が分かりません。。
積分で出すと思うのですが、sinθの曲線とx軸で囲まれた部分の積分のやり方が分かりません。
切断する角度をθとすると、切り口の曲線の式は、、y=sinθでいいのでしょうか？図のような曲線でいいですよね？
また、円柱の直径をDとすると、底辺が2πなのかπＤなのかよく分かりません。
円柱の底面の円周だからπＤだと思うのですが、360°だから2π？？
もう混乱してしまい・・・・お願いします！

No.2 回答者： Dr-Field 回答日時： 2012/11/15 17:55

図で求めたい側面積って、切断前の円柱の側面積の1/2ではないでしょうか？

で、切断面と底辺の角度をθとし、底辺の半径をrとすると、高さは 2r・tanθですよね。
だから、幅2πr、高さ2r・tanθの紙で作った円柱を2つに切った側面積ということで、(2πr×2r・tanθ)×1/2＝2πr^2・tanθ ←No.1の方と同じ答えなのですけれどもね。

これ、θ＝30°とか45°とか60°だと、中学入試にも出そうな問題に見えます。

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2012/11/14 22:58

＞切断する角度をθとすると、切り口の曲線の式は、、y=sinθでいいのでしょうか？

切断する角度をθとするならθは定数ですからy=sinθとはなりません。


直径Dの円柱を角度θで切断してから側面を平らにしたときの切り口の曲線をxy座標で表すと、

y=(D/2)tanθ{1-cos(2x/D)}　　（0≦x≦πD）

面積は、
S=∫[0→πD](D/2)tanθ{1-cos(2x/D)}dx
　=[(D/2)tanθ{x-(D/2)sin(2x/D)}][0→πD]
　=(πD^2/2)tanθ