ウォッチ
cotz
=cosz/sinz
=i･(e^iz+e^(-iz)/(e^iz-e^(-iz)
=i･(e^2iz+1)/(e^2iz-1)
cot(z/2)
=i･(e^iz+1)/(e^iz-1)
(z/2)cot(z/2)
=(iz/2)(e^iz+1)/(e^iz-1)
=iz/(e^iz-1)+iz/2
の式は画像の赤い下線部の式になるのでしょうか？
なるならば、iz/(e^iz-1)+iz/2の式が赤い下線部の式になるまでの過程の計算を詳しく教えて下さい。
また、
tanz=cotz-2cot(2z)
の式から画像の青い下線部の式になるのでしょうか？
なるならば、tanz=cotz-2cot(2z)の式が青い下線部の式になるまでの過程の計算を詳しく教えて下さい。
どうかよろしくお願い致します。
A 回答 (26件中1～10件)
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No.26
- 回答日時：
質問37,
cotz-2cot(2z)
は
tan(z)のz=π/2でのローラン展開ではなく
tan(z)のz=0でのマクローリン展開を求めるための式
だから
tan(z)のz=π/2 でのローラン展開を求める場合
に
tan(z) を cotz-2cot(2z) の式に変形するのは間違っている
cotz-2cot(2z)の展開中心はz=0
と
-cot(z-π/2)の展開中心はz=π/2
は
違うのです
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ありがとうございます。
質問37の解答に関しては、
>> cotz-2cot(2z)
は
tan(z)のz=π/2でのローラン展開ではなく
tan(z)のz=0でのマクローリン展開を求めるための式
だから
>> cotz-2cot(2z)の展開中心はz=0
と
-cot(z-π/2)の展開中心はz=π/2
は
違うのです
なるほど、
tan(z)のz=0でのマクローリン展開とcotz-2cot(2z)のz=0でのマクローリン展開が同じ式である為、
すなわち、tan(z)のz=π/2でのローラン展開とcotz-2cot(2z)のz=0でのマクローリン展開の展開する中心点が異なる為、
tan(z)のz=π/2でのローラン展開から
cotz-2cot(2z)のz=0でのマクローリン展開が導けないとわかりました。
ただ、疑問があるのですが、
質問38,
tan(z)のz=π/2でのローラン展開からcotz-2cot(2z)のz=π/2でのローラン展開は導けないのでしょうか？
No.25
- 回答日時：
質問38
cot(z)
=cos(z)/sin(z)
=sin(π/2-z)/cos(π/2-z)
=tan(π/2-z)
だから
cot(z)のz=π/2でのテイラー展開の式と
tan(π/2-z)の(π/2-z)=0でのテイラー展開の式は同じ
u=π/2-z
とすると
tan(π/2-z)の(π/2-z)=0でのテイラー展開の式と
tan(u)のu=0でのテイラー(マクローリン)展開の式は同じ
u=zとすると
tan(u)のu=0でのマクローリン展開の式と
tan(z)のz=0でのマクローリン展開の式は同じ
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- 1
- 件
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わざわざどうもありがとうございます。
こちらの解答の
>> tan(z)=Σ[k=0～∞][(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}](z-π/2)^{2k-1}
と
なるから
Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n=Σ[k=0～∞][(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}](z-π/2)^{2k-1}
について質問があります。
質問34,
Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n=Σ[k=0～∞][(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}](z-π/2)^{2k-1} の式と以下のURLの水色の下線部の画像の式が同じである事を証明して頂けないでしょうか？
質問35,
Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n=Σ[k=0～∞][(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}](z-π/2)^{2k-1}の式をa(n)=と変形して以下のURLの画像のオレンジの下線部のa(n)の式の様になるまでを教えて下さい。
質問36,
質問35でa(n)=と変形したΣ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n=Σ[k=0～∞][(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}](z-π/2)^{2k-1}の式が以下のURLの画像のオレンジの下線部のa(n)の式と一致する事を説明教えて下さい。
https://20.gigafile.nu/0605-bba25bad3ca9fb112bcf …
(※URLの画像は2022.7.9 21:52にした質問の2022.7.15 16:59にmtrajcp様から頂いた解答です。)
質問37,
質問の文章が長くなったので以下のURLに載せます。
https://pastebin.com/sZDajg5f
お手数をお掛けして申し訳ありませんが、
質問34〜37に関しては出来ればmtrajcp様から頂く様な画像で解説して頂けると視覚的で理解しやすいです。
どうかよろしくお願い致します。
No.24
- 回答日時：
> 質問38,
> cot(z)のz=π/2でのテイラー展開の式と以下のURLの画像の最下段の式
> のtan(z)のz=0でのマクローリン展開の式が一致する事を説明して頂けないでしょうか？
> https://20.gigafile.nu/0605-dbdab475928930c03e6e …
> どうかよろしくお願い致します。
そのアップした図が、つまりこのスレでしばしば登場するNo.21の「画像の通り」の図がその答えです。
しかしながらその画像は不鮮明で、わかりにくいところがあるはずです。プリントアウトしてから、紙と鉛筆というものを用意して、それを写して、首から上についている頭脳というものを駆使して自ら考えましょう。
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No.23
- 回答日時：
質問33,
tan(z)=Σ[n=-2～-∞]a(n)(z-π/2)^nとなる
Σ[n=-2～-∞]のtan(z)のz=π/2でのローラン展開も存在する
Σ[n=-2～-∞](n≧-2)のa(n)も存在する
a(-2)も存在して
a(-2)=0だから
tan(z)
=Σ[n=-2～-∞]a(n)(z-π/2)^n
=Σ[n=-1～-∞]a(n)(z-π/2)^n
となる
質問37,
tan(z)=cotz-2cot(2z)
は
tan(z)のz=0でのマクローリン展開を求めるための式
だから
tan(z)のz=π/2 でのローラン展開を求める場合
に
tan(z) を cotz-2cot(2z) の式に変形するのは間違っている
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- 1
- 件
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質問33の解答について、
>> tan(z)=Σ[n=-2～-∞]a(n)(z-π/2)^nとなる
...
tan(z)
=Σ[n=-2～-∞]a(n)(z-π/2)^n
=Σ[n=-1～-∞]a(n)(z-π/2)^n
となる
に関しては、
2025.2.11 19:29にした質問の2025.2.15 04:14のmtrajcp様の解答の2025.2.16 11:24の「質問者さんからお礼」の
「(※g(z)=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^mの...になるのでΣ[m=-1～∞]と置けたと思っています。)」
を
[n=-2～-∞](n≧-2)のa(n)が存在しない理由に関しては
2025.2.16 11:24の「質問者さんからお礼」の「余談ですが、...」と2025.2.16 11:25の「質問者からの補足」の文章を参考にします。
質問37の解答については、
お手数をお掛けして申し訳ないのですが、
過程の計算を用いて証明して頂きたいです。
また、お時間のある時で構いませんので以下の質問に対しても解答して頂けると嬉しいです。
こちらの解答の
>> tan(z)=Σ[k=0～∞][(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}](z-π/2)^{2k-1}
と
なるから
Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n=Σ[k=0～∞][(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}](z-π/2)^{2k-1}
について質問があります。
以下のURLに質問をまとめました。
https://pastebin.com/d3pYzSN0
(※URLの画像は2022.7.9 21:52にした質問の2022.7.15 16:59にmtrajcp様から頂いた解答です。)
質問37,
質問の文章が長くなったので以下のURLに載せます。
https://pastebin.com/sZDajg5f
質問38,
cot(z)のz=π/2でのテイラー展開の式と以下のURLの画像の最下段の式のtan(z)のz=0でのマクローリン展開の式が一致する事を説明して頂けないでしょうか？
https://20.gigafile.nu/0605-dbdab475928930c03e6e …
No.22
- 回答日時：
質問30
tan(z)はz=π/2でローラン展開できるから
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
と
なるa(n)が存在する
一方画像(青い下線部の式)から
tan(z)のz=π/2でローラン展開は
tan(z)=Σ[k=0～∞][(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}](z-π/2)^{2k-1}
と
なるから
Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n=Σ[k=0～∞][(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}](z-π/2)^{2k-1}
だから
右辺は (z-π/2)^{2k-1} の項だけしかない
右辺は (z-π/2)^{2k} の項が無いから
n=2kのとき
a(n)=0
となる
n=-1～∞だから n≧-1だから
n≦-2 の項は無いから
n≦-2のとき
a(n)=0
となる
質問31,
画像の通り
tan(z)=cotz-2cot(2z)
は
tan(z)のz=0でのマクローリン展開を求めるための式
だから
tan(z)のz=π/2 でのローラン展開を求める場合
に
tan(z) を cotz-2cot(2z) の式に変形するのは間違っている
質問32,
画像の最下段の式が
tan(z)のz=0でのマクローリン展開の式
である
-
-
- 2
- 件
-
ありがとうございます。
質問33,
質問30の解答より
>> tan(z)はz=π/2でローラン展開できるから
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
と
なるa(n)が存在する
とtan(z)はz=π/2でローラン展開する際にtan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^nより、
Σ[n=-1～∞]となる為、n≧-1の時(かつn=2kのとき以外)はa(n)の式が作れますが、
なぜtan(z)=Σ[n=-2～-∞]a(n)(z-π/2)^nとなるΣ[n=-2～-∞]のtan(z)のz=π/2でのローラン展開やΣ[n=-2～-∞](n≧-2)のa(n)は存在しないのでしょうか？
こちらの解答の
>> tan(z)=Σ[k=0～∞][(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}](z-π/2)^{2k-1}
と
なるから
Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n=Σ[k=0～∞][(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}](z-π/2)^{2k-1}
について質問があります。
以下のURLに質問をまとめました。
https://pastebin.com/d3pYzSN0
(※URLの画像は2022.7.9 21:52にした質問の2022.7.15 16:59にmtrajcp様から頂いた解答です。)
質問37,
質問の文章が長くなったので以下のURLに載せます。
https://pastebin.com/fzQT2EaH
質問38,
cot(z)のz=π/2でのテイラー展開の式と以下のURLの画像の最下段の式のtan(z)のz=0でのマクローリン展開の式が一致する事を説明して頂けないでしょうか？
https://20.gigafile.nu/0605-dbdab475928930c03e6e …
どうかよろしくお願い致します。
No.21
- 回答日時：
質問24,
画像の通り
質問25
cot(u)=Σ[k=0～∞][(-1)^k(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}]u^{2k-1}
=
-tan(z)=Σ[n=-1～∞]-a(n)u^n
が正しいけれども
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)u^n
=
-cot(u)=Σ[k=0～∞][(-1)^k(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}]u^{2k-1}
は
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)u^n
=
-cot(u)=Σ[k=0～∞][(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}]u^{2k-1}
が正しい
質問26,
tan(z)はz=π/2でローラン展開できるから
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
となるような a(n)が存在する
u=z-π/2
と定めると
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)u^n
となる
質問27,
画像の通り
質問28,
画像の通り
u=z-π/2
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)u^n
=
-cot(u)=Σ[k=0～∞][(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}]u^{2k-1}
だから
n=2k-1
n≧-1 のとき
n=2k-1 のとき
a(n)=a(2k-1)=(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/(2k)!
n=2kのとき
a(n)=a(2k)=0
n≦-2 のとき
a(n)=0
質問29
画像の通り
-
-
- 6
- 件
-
ありがとうございます。
質問30,
2025.2.22 13:57や2025.2.22 16:12や2025.2.22 20:06やmtrajcp様の解答より
>> n≧-1 のとき
n=2k-1 のとき
a(n)=a(2k-1)=(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/(2k)!
n=2kのとき
a(n)=a(2k)=0
n≦-2 のとき
a(n)=0
との事ですが、
n=2kのとき
a(n)=a(2k)=0の様にa(n)が0になるのかをどうか過程の計算を踏まえて教えて頂けないでしょうか？
また、
n≦-2 のとき
a(n)=0の様にa(n)が0になるのかをどうか過程の計算を踏まえて教えて頂けないでしょうか？
質問31,
2025.2.22 13:57のmtrajcp様の解答より
>> tan(z)のz=π/2 でのローラン展開
は
(z-π/2)のべき級数展開するのだから
tan(z) を cotz-2cot(2z) の式に変形するのは間違っている
cotz-2cot(2z) よりも
-cot(z-π/2) の方が
(z-π/2)のべき級数に近い形だから
cotz-2cot(2z) は
-cot(z-π/2) よりも
(z-π/2)のべき級数から遠ざかる形だから
と書いてありますが、
cotz-2cot(2z)が
-cot(z-π/2)よりも
(z-π/2)のべき級数から遠ざかる形である事を過程の計算を踏まえて説明して頂けないでしょうか？
質問32は2025.2.22 08:57のmtrajcp様からの解答の2025.2.22 09:51の「質問者さんからお礼」に書いてある質問19と内容が同じなのですが、質問32として改めて質問させて頂きます。
質問32,
>> cot(z)のz=π/2でのテイラー展開は
tan(u)のu=0でのマクローリン展開と同じ
だから
tan(z)のz=0でのマクローリン展開と同じ
cot(z)のz=π/2でのテイラー展開の式と
tan(u)のu=0でのマクローリン展開の式と
tan(z)のz=0でのマクローリン展開の式を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？
No.20
- 回答日時：
質問21
画像の通り
tan(z)=-cot(z-π/2)
は
tan(z)のz=π/2 でのローラン展開を求めるための式
で
tan(z)=cotz-2cot(2z)
は
tan(z)のz=0でのマクローリン展開を求めるための式
だから
tan(z)のz=π/2 でのローラン展開を求める場合
に
tan(z) を cotz-2cot(2z) の式に変形するのは間違っている
質問22,
画像の通り
u=z-π/2
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)u^n
=
-cot(u)=Σ[k=0～∞][(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}]u^{2k-1}
だから
n=2k-1
n≧-1 のとき
n=2k-1 のとき
a(n)=a(2k-1)=(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/(2k)!
n=2kのとき
a(n)=a(2k)=0
n≦-2 のとき
a(n)=0
-cost(z-π/2)ではなく
-cot(z-π/2)です
-
-
- 5
- 件
-
No.19
- 回答日時：
質問21
tan(z)のz=π/2 でのローラン展開
は
(z-π/2)のべき級数展開するのだから
tan(z) を cotz-2cot(2z) の式に変形するのは間違っている
cotz-2cot(2z) よりも
-cot(z-π/2) の方が
(z-π/2)のべき級数に近い形だから
cotz-2cot(2z) は
-cot(z-π/2) よりも
(z-π/2)のべき級数から遠ざかる形だから
tan(z) を cotz-2cot(2z) の式に変形するのは間違っている
質問22,
いままでの画像の通り
u=z-π/2
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)u^n
=
-cot(u)=Σ[k=0～∞][(-1)^k(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}]u^{2k-1}
だから
n=2k-1
n≧-1 のとき
n=2k-1 のとき
a(n)=a(2k-1)=(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/(2k)!
n=2kのとき
a(n)=a(2k)=0
n≦-2 のとき
a(n)=0
-cost(z-π/2)は間違いで正しくは
-cot(z-π/2)です
-
-
- 1
- 件
-
なるほど、
tan(z)のz=π/2 でのローラン展開
は
(z-π/2)のべき級数展開するのだから
(z-π/2)のべき級数に近い形である
tan(z)=-cot(z-π/2)を使って、
2025.2.19 21:20にmtrajcp様から頂いた画像の様にz=π/2でのtan(z)のローラン展開を導いたとわかりました。
>> -cost(z-π/2)ではなく
-cot(z-π/2)です
訂正して頂きありがとうございます。
-cost(z-π/2)ではなく-cot(z-π/2)でした。
質問24,
>> いままでの画像の通り
その「いままでの画像の通り」とは何日の何時何分の解答に載せて頂いた画像の事でしょうか？
こちらの解答の
>> u=z-π/2
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)u^n
=
-cot(u)=Σ[k=0～∞][(-1)^k(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}]u^{2k-1}
だから
n=2k-1
n≧-1 のとき
n=2k-1 のとき
a(n)=a(2k-1)=(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/(2k)!
n=2kのとき
a(n)=a(2k)=0
n≦-2 のとき
a(n)=0
と2025.2.20 10:12にmtrajcp様から頂いた解答の
>> u=z-π/2
cot(u)=Σ[k=0～∞][(-1)^k(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}]u^{2k-1}
=
-tan(z)=Σ[n=-1～∞]-a(n)u^n
だから
n=2k-1
n≧-1 のとき
n=2k-1 のとき
a(n)=a(2k-1)=(-1)^{k-1}(2^{2k})B(2k)/{(2k)!}
n=2kのとき
a(n)=a(2k)=0
n≦-2 のとき
a(n)=0
について質問があります。
以下のURLに質問をまとめました。
https://pastebin.com/v0qW45Zn
質問29,
2025.2.21 11:10にmtrajcp様から頂いた解答の
>> 質問9
tanz=-cot(z-π/2)の式からtan(z)のローラン展開の式を導き方は
いままでの画像の通り
その「いままでの画像の通り」とは何日の何時何分の解答に載せて頂いた画像の事でしょうか？
No.18
- 回答日時：
質問12
tan(z)のz=π/2 でのローラン展開
は
(z-π/2)のべき級数展開するのだから
tan(z) を cotz-2cot(2z) の式に変形するのは間違っている
tan(z) を -cot(z-π/2)の式の変形するのは
tan(z)
=sin(z)/cos(z)
=cos(z-π/2)/-sin(z-π/2)
=-cos(z-π/2)/sin(z-π/2)
=-cot(z-π/2)
の通り
質問19
tan(x)のマクローリン展開の式は
https://manabitimes.jp/math/1381
の通り
質問20
tan(z)=-cot(z-π/2)
だから
tan(z)のz-π/2でのローラン展開
と
-cot(z-π/2)の(z-π/2)=0でのローラン展開
は
ローラン展開の定義から同じものであって
定義であって証明すべきことではない
質問15
f(x)がx=aで正則でない場合
f(a)
f'(a)
f"(a)
…
f^(n)(a)
が
存在しないから
f(x)のx=aでのテイラー展開
f(x)=Σ[n=0～∞](f^(n)(a)/n!)(x-a)^n
は存在しない
-
-
- 1
- 件
-
>> 質問12
tan(z)のz=π/2 でのローラン展開
は
は正しくは質問18だと思います。
質問21,
「tanz の z=π/2 でのローラン展開は
-cot(z-π/2) の (z-π/2)=0 でのローラン展開と同じ
だから
というのが「理由]」
から始まる解答の「質問者さんからお礼」に
「なるほど、
-cot(z-π/2)はtan(z)から導ける為、
特異点z=π/2でのtan(z)のローラン展開と
特異点(z=π/2より)(z-π/2)=0での-cot(z-π/2)のローラン展開の式が、
すなわち、
tan(z)の特異点z=π/2でのローラン展開と
-cot(z-π/2)の特異点(z=π/2より)(z-π/2)=0でのローラン展開の式が同じだから、
tanz=cotz-2cot(2z)の式をtanz=-cot(z-π/2)として、
tanz=-cot(z-π/2)の式から正しいtan(z)のローラン展開の式を導けたとわかりました。」
との事で、
tanz=-cot(z-π/2)の式から正しいtan(z)のローラン展開の式を導けた事はわかりました。
しかし、
「cotz-2cot(2z)
と変形するのは、変形する方向が間違っている」
に関しては未だに理解出来ていません。
「cotz-2cot(2z)
と変形するのは、変形する方向が間違っている」
との事で、
理由は、
「tan(z)のz=π/2 でのローラン展開
は
(z-π/2)のべき級数展開するのだから
tan(z) を cotz-2cot(2z) の式に変形するのは間違っている」
との事でした。
なぜ、
tan(z)のz=π/2 でのローラン展開
は
(z-π/2)のべき級数展開するのだから
tan(z)をcotz-2cot(2z)の式に変形するのは間違っていると言われる理由が未だにわからないのです。
どうか分かりやすく理由を教えて頂けないでしょうか。
質問22,
>>tan(z)=-cot(z-π/2)
...証明すべきことではない
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^nと
-cost(z-π/2)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^nの二つの式のa(n)の式を求めるまでの過程の計算を教えて下さい。
No.17
- 回答日時：
質問16
tan(z)
=sin(z)/cos(z)
=cos(z-π/2)/-sin(z-π/2)
=-cos(z-π/2)/sin(z-π/2)
=-cot(z-π/2)
質問17
tan(z)のz=π/2 でのローラン展開
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
と
-cot(z-π/2)の(z-π/2)=0でのローラン展開
-cost(z-π/2)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
は同じである
質問18
tan(z)のz=π/2 でのローラン展開
は
(z-π/2)のべき級数展開するのだから
tan(z) を cotz-2cot(2z) の式に変形するのは間違っている
-
-
- 1
- 件
-
ありがとうございます。
お手数をお掛けして申し訳ありませんが、
mtrajcp様から頂いた
「質問12
tanz の z=π/2 でのローラン展開は
-cot(z-π/2) の (z-π/2)=0 でのローラン展開と同じ
だから
というのが「理由]」から始まる解答の
「質問者さんからお礼」に書けなかった部分を
こちらの解答の「質問者さんからお礼」に書きます。
以下がの文章が文字数制限によって、
「質問12
tanz の z=π/2 でのローラン展開は
-cot(z-π/2) の (z-π/2)=0 でのローラン展開と同じ
だから
というのが「理由]」から始まる解答の
「質問者さんからお礼」に書けなかった内容です。
と言うか、
2025.2.20 04:37にmtrajcp様から頂いた質問3の解答より
「tanz=-cot(z-π/2)=-cot(u)
の式自体も
cot(u)
の特異点(z-π/2)=u=0を持つ式である必要がある」
との事ですが、
tanz=cotz-2cot(2z)の式が特異点z=π/2を持つ様にする為に、
tanz=cotz-2cot(2z)の式をtanz=-cot(z-π/2)の式に変形したと言う事でしょうか？
仮に、そうならば、
tanz=cotz-2cot(2z)の式をtanz=-cot(z-π/2)の式に変形するまでの過程の計算を教えて下さい。
質問19,
>> cot(z)のz=π/2でのテイラー展開は
tan(u)のu=0でのマクローリン展開と同じ
だから
tan(z)のz=0でのマクローリン展開と同じ
cot(z)のz=π/2でのテイラー展開の式と
tan(u)のu=0でのマクローリン展開の式と
tan(z)のz=0でのマクローリン展開の式を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？
質問20,
質問17の解答より、
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^nと
-cost(z-π/2)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^nの二つの式のa(n)を求めて、二つの式が同じ式である事を証明して下さい。
質問14の説明が正しいか、
そして質問15に対して解答を頂けると嬉しいです。
どうかよろしくお願い致します。
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あの、mtrajcp様、
rnakamra様の解答は正しいのでしょうか？
仮にrnakamra様の解答が正しい場合は、
rnakamra様の解答を考慮した上でmtrajcp様に解答して頂きたいです。
出来れば質問の主旨を複雑にしたくありません。
どうか私が先程rnakamra様に質問した事を答えなかったり、正しくない解答をする様でしたら、
申し訳ないのですが、rnakamra様には控えて頂けると助かります。
どうかよろしくお願い致します。
mtrajcp様、確認したい事があります。
質問に書いた
cotz
=cosz/sinz
=i･(e^iz+e^(-iz)/(e^iz-e^(-iz)
=i･(e^2iz+1)/(e^2iz-1)
cot(z/2)
=i･(e^iz+1)/(e^iz-1)
(z/2)cot(z/2)
=(iz/2)(e^iz+1)/(e^iz-1)
=iz/(e^iz-1)+iz/2
の計算の式は間違っている為、
cotz
=cosz/sinz
=i･(e^iz+e^(-iz)/(e^iz-e^(-iz)
=i･(e^2iz+1)/(e^2iz-1)
cot(z/2)
=i･(e^iz+1)/(e^iz-1)
(z/2)cot(z/2)
=(iz/2)(e^iz+1)/(e^iz-1)
=iz/(e^iz-1)+iz/2
の式からは赤い下線部の式は導けないと言う事でよろしいでしょうか？
質問に載せた計算式の
cotz
=cosz/sinz
=i･(e^iz+e^(-iz)/(e^iz-e^(-iz)
=i･(e^2iz+1)/(e^2iz-1)
cot(z/2)
=i･(e^iz+1)/(e^iz-1)
(z/2)cot(z/2)
=(iz/2)(e^iz+1)/(e^iz-1)
=iz/(e^iz-1)+iz/2
に関して、
uと書くべき部分の変数を何も考えもせずzと置いてしまっていました。
すいません。
質問を以下の様に訂正致します。
(※u=z-π/2と置く。)
cot(u)
=-tan(z)
=-sin(z-π/2)/cos(z-π/2) ←【rnakamra様の
「追加の質問に対して。
質問1,
なぜcotuのuの部分がzと置き換えられただけで正しい赤い下線部の式が導けなかったのでしょうか
なぜ変数をzからuに変えたのかというと、
u=z-π/2と置くと
cot(u)=-tan(z)
となるから。cot(u)であれば質問の画像にある
x/(e^x-1)=...
の式が使えるようになるからに過ぎない。」の解答より-sin(z-π/2)/cos(z-π/2)とした。】
=cos(u)/sin(u)
=i･(e^iu+e^(-iu)/(e^iu-e^(-iu)
=i･(e^2iu+1)/(e^2iu-1)
cot(u/2)
=i･(e^iu+1)/(e^iu-1)
(u/2)cot(u/2)
=(iu/2)(e^iu+1)/(e^iu-1)
=iu/(e^iu-1)+iu/2
の式は画像の赤い下線部の式になるのでしょうか？
なるならば、iu/(e^iu-1)+iu/2の式が赤い下線部の式になるまでの過程の計算を詳しく教えて下さい。...①
また、
tanz=cotz-2cot(2z)
の式から画像の青い下線部の式になるのでしょうか？
なるならば、tanz=cotz-2cot(2z)の式が青い下線部の式になるまでの過程の計算を詳しく教えて下さい。...②
どうかよろしくお願い致します。
①に関しては、
uと書くべき部分の変数を何も考えもせずzと置いてしまった事で、
質問に書かれたcot(z)の式から画像に書いてあるcot(u)を求めるなどと言う訳のわからない質問をしてしまいましたが、
mtrajcp様の#1の解答の画像より正しい計算のやり方がわかりました。
どうか②に関してもmtrajcp様から解答を解決を頂けると嬉しいです。
どうかよろしくお願い致します。
mtrajcp様、申し訳ないのですが、
緑の下線部の式から黄色い下線部の式を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。
rnakamra様から頂いた#7の解答はtan(z)=cot(z)-2*cot(2z)の式を使ってtan(z)のローラン展開を計算を導く事を解説した解答だとわかりました。
とは言え、
今回の質問は、あくまで
余接関数cot(u)の式を赤い下線部の式にするまでの過程の計算と
正接関数tan(z)の式を青い下線部の式にするまでの過程の計算が知りたかっただけです。
ですが、tan(z)=cot(z)-2*cot(2z)の式を使って、tan(z)のローラン展開を求めるやり方を教えて頂きありがとうございます。
ちなみに、cot(u)=-tan(z)の式を使ってtan(z)のローラン展開を求める事は出来るのでしょうか？
仮に出来るならば、
cot(u)=-tan(z)の式を使ってtan(z)のローラン展開を計算を導くまでを解説した解答を頂きたいです。
どうかよろしくお願い致します。
2025.2.18 16:13にmtrajcp様から頂いた解答に関して質問があります。
質問3,
>> z=π/2 は cot(z) の特異点ではないのだから
tanz=cotz-2cot(2z)
とする事自体が間違っているといっているのです
tanz=-cot(z-π/2)
でなければならない
青い下線部の式は特異点z=π/2を持つtan(z)のローラン展開の式である為、
tanz=-cot(z-π/2)の式からtan(z)のローラン展開の式を導くならば、
tanz=-cot(z-π/2)の式自体も特異点z=π/2を持つ式である必要があると言う事でしょうか？
質問4,
anz=-cot(z-π/2)の式はどうやって導いたと言うか作ったのでしょうか？
質問5,
青い下線部の式は特異点z=π/2を持つtan(z)のローラン展開の式でありますが、
青い下線部の式は特異点z=π/2で何位の極を持つのでしょうか？
ちなみに、
質問3と内容が被りますが、
2025.2.18 16:39のrnakamra様の解答の「質問者さんからお礼」に
>> z=π/2 は cot(z) の特異点ではないのだから
tanz=cotz-2cot(2z)
とする事自体が間違っているといっているのです
申し訳ありません。
なぜ特異点だとダメなのか理由をわかりやすく詳しく教えて頂けないでしょうか？
どうかよろしくお願い致します。
と質問しましたが、
正しくは、
「なぜ特異点ではない場合はダメなのか理由を教えて頂けないでしょうか？」
でした。
質問3と内容は被ってしまいますが、rnakamra様に以上の質問を答えて頂けると嬉しいです。
すなわち、
cot(u)がu=0に対して正則でない場合、
u=0はcot(u)の特異点である為、
u=0でのcot(u)のローラン展開は導けるが、u=0でのcot(u)のマクローリン展開は導けない、
また、
cot(z)がz=0に対して正則でない場合、
z=0はcot(z)の特異点である為、
z=0でのcot(z)のローラン展開は導けるが、z=0でのcot(z)のマクローリン展開は導けないとわかりました。
質問15,
今更で申し訳ないのですが、
関数f(x)がある点xに対して正則でない場合、
すなわち、
ある点xは関数f(x)の特異点である場合、
なぜある点xでの関数f(x)のテイラー展開やマクローリン展開が導けないのでしょうか？
どうかよろしくお願い致します。