2025.1.3 20:14にした質問の、 2025.1.6 10:43にmtrajcp様に頂いた解

2025.1.3 20:14にした質問の、
2025.1.6 10:43にmtrajcp様に頂いた解答について質問があります。

以下の「」は2025.1.6 10:43にmtrajcp様に頂いた解答です。


「留数は(-1)次の項の係数なのだから

tan(z)の(-1)次の項　a(-1)/(z-π/2)　の係数(留数)は　a(-1) だけれども

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+…

↓両辺に(z-π/2)をかけると

(z-π/2)tan(z)=a(-1)+…

(-1)次の項　a(-1)/(z-π/2)　は
(0)次の項定数項　a(-1) になるから

a(-1)は　(z-π/2)tan(z)　の　(0)次の項定数項であって(-1)次の項(留数)ではない

①
f(z)=tan(z)のローラン展開は
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
と
変数a(n)を使っているけれども
g(z)=tan(z)(z-π/2)をテイラー展開した場合は
f(z)とg(z)が違う関数なのだから
同じ変数a(n)を使ってはいけません
g(z)=tan(z)(z-π/2)のテイラー展開は別の変数b(m)を使って

g(z)=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^m

としなければいけません
そうすると

a(-2)の値と
g(z)=tan(z)(z-π/2)を
テイラー展開した際のz=π/2の時の留数
b(-1)
の値が一致し
b(-1)=a(-2)
となるのです

②
f(z)=tan(z)のローラン展開は
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
と
変数a(n)を使っているけれども
g(z)=tan(z)/(z-π/2)をローラン展開した
場合は
f(z)とg(z)が違う関数なのだから
同じ変数a(n)を使ってはいけません
g(z)=tan(z)/(z-π/2)をローラン展開は別の変数c(j)を使って

g(z)=Σ[j=-2～∞]c(j)(z-π/2)^j

としなければいけません
そうすると
a(0)の値と
g(z)=tan(z)/(z-π/2)を
ローラン展開した際のz=π/2の時の留数
c(-1)
の値が一致し
c(-1)=a(0)
となるのです

③
tan(z)/(z-π/2)の留数
a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
は
g(z)=tan(z)(z-π/2)の留数
a(-2)=Res(tan(z)(z-π/2),π/2)
ではありません
といっているのだから

a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)より
a(0)の値と
g(z)=tan(z)(z-π/2)をローラン展開した際のz=π/2の時の
a(-2)
の値は
一致しません」




質問1,
>> g(z)=tan(z)(z-π/2)をテイラー展開した場合は
f(z)とg(z)が違う関数なのだから
同じ変数a(n)を使ってはいけません
g(z)=tan(z)(z-π/2)のテイラー展開は別の変数b(m)を使って

g(z)=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^m

としなければいけません
そうすると

a(-2)の値と
g(z)=tan(z)(z-π/2)を
テイラー展開した際のz=π/2の時の留数
b(-1)
の値が一致し
b(-1)=a(-2)
となるのです



g(z)=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^mの式はm=0からですが、
なぜg(z)=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^mの式からb(-1)が導けるのでしょうか？




質問2,
>> a(-2)の値と
g(z)=tan(z)(z-π/2)を
テイラー展開した際のz=π/2の時の留数
b(-1)
の値が一致し
b(-1)=a(-2)
となるのです



a(-2)の値とb(-1)の値が一致し、b(-1)=a(-2)となる事を載せた画像の様にわかりやすく説明して頂けないでしょうか？




質問3,
>> g(z)=tan(z)/(z-π/2)をローラン展開した
場合は
f(z)とg(z)が違う関数なのだから
同じ変数a(n)を使ってはいけません
g(z)=tan(z)/(z-π/2)をローラン展開は別の変数c(j)を使って

g(z)=Σ[j=-2～∞]c(j)(z-π/2)^j

としなければいけません
そうすると
a(0)の値と
g(z)=tan(z)/(z-π/2)を
ローラン展開した際のz=π/2の時の留数
c(-1)
の値が一致し
c(-1)=a(0)
となるのです



g(z)=Σ[j=-2～∞]c(j)(z-π/2)^jの式はj=-2からですが、
なぜg(z)=Σ[j=-2～∞]c(j)(z-π/2)^jの式からc(-1)が導けるのでしょうか？




質問4,
>> a(0)の値と
g(z)=tan(z)/(z-π/2)を
ローラン展開した際のz=π/2の時の留数
c(-1)
の値が一致し
c(-1)=a(0)
となるのです



a(0)の値とc(-1)の値が一致し、
c(-1)=a(0)となる事を載せた画像の様にわかりやすく説明して頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 2024.10.7 04:13にした質問の2024.10.7 09:57のmtrajcp様の解答に載せて頂いた画像について質問があります。
  
  
  質問17,
  画像の赤い下線部の式の青い下線部にn=-1を代入した場合と
  緑の下線部にn=1を代入した場合とで、
  
  -1次の項1/(z-π/2)の係数、すなわち、tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の留数を求められると思ったのですが、
  
  一つの式に留数が2つ存在すると言うのはあり得ないと思います。
  
  青い下線部にn=-1を代入した場合と
  緑の下線部にn=1を代入した場合のどちらが
  正しいtan(z)/(z-π/2)^(n+1)の留数を求められる場合なのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2025/02/13 20:53

• c(-3)の値は0と求まる為、
  c(-3)=0となる。
  
  (その為、j≦-3の時のtan(z)/(z-π/2)のローラン展開は以下の様にj=-2から始まるので、
  tan(z)/(z-π/2)
  =Σ[j=-∞～∞]c(j)(z-π/2)^j
  =c(-2)/(z-π/2)^2+c(-1)/(z-π/2)+…
  となる。)
  
  そして、c(-3)の値は質問に載せた画像のh(z)=tan(z)/(z-π/2)のローラン展開の式の-1次の項1/(z-π/2)^2の係数a(-2)と値が一致する為、
  
  c(-3)=a(-2)と導けると言う事はわかりました。
  
  
  しかし、
  h(z)=tan(z)/(z-π/2)=Σ[j=-∞～∞]c(j)(z-π/2)^jの式に関して、
  c(j)=0と導く際に、なぜjの範囲をj≦-3とすれば良いとわかったのでしょうか？
  
  
  質問17に関しても答えて頂けると嬉しいです。

    補足日時：2025/02/14 08:17

• a(n)=1/(n+1)!lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の式を導いたりしましたが、
  
  n≧-1の時でのnの値によって、g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の式が頂いた解答の
  
  「n=-1 のとき
  
  tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  =tan(z)
  =a(-1)/(z-π/2)+a(0)+…
  」
  
  や
  
  「n=1 のとき
  
  tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  =tan(z)/(z-π/2)^2
  =a(-1)/(z-π/2)^3+a(0)/(z-π/2)^2+a(1)/(z-π/2)+a(2)+…」
  
  の様に、異なる式になる為、
  g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の式から求まる留数が

    補足日時：2025/02/15 01:32

• 「n=-1 のとき
  
  tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  =tan(z)
  =a(-1)/(z-π/2)+a(0)+…
  
  の留数 -1次の項
  a(-1)/(z-π/2)
  の係数
  a(-1)」
  
  や
  
  「n=1 のとき
  
  tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  =tan(z)/(z-π/2)^2
  =a(-1)/(z-π/2)^3+a(0)/(z-π/2)^2+a(1)/(z-π/2)+a(2)+…
  
  の留数 -1次の項
  a(1)/(z-π/2)
  の係数
  a(1)」
  
  の様に変わると言う事を言っているのだとわかりました。
  
  私の理解は正しいでしょうか？

    補足日時：2025/02/15 01:32

• 式の項は発散してしまい、a(-1)より前のa(-4)やa(-3)やa(-2)を含む項自体が作れない為、
  
  nの範囲をn≦-2作れて、
  nが-2以下の範囲でのa(n)の値は0になる為、
  a(n)の式は作れない為、
  a(n)=0となるので、
  a(n)=0となるnの範囲はn≦-2と置かなければいけなくて、
  
  f(z)
  =tan(z)
  =Σ[n=-1～-∞]a(n)(z-π/2)^n
  =a(-1)/(z-π/2)+a(0)+…
  
  の様にa(-1)を含む項であるa(-1)からtan(z)(z-π/2)の式が作れたのだとわかりました。
  
  (※これが随分前に質問したf(z)=tan(z)のローラン展開において、n≧-1の時やn≦-2の時などの場合分けをして、n≧-2の時、g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は正則なので、a(n)の式が導けない事を表してるとわかりました。)

    補足日時：2025/02/16 11:25

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/15 04:14

質問20

tan(z)/(z-π/2)
はz=π/2でローラン展開できるのだから

tan(z)/(z-π/2)=Σ[j=-∞～∞]c(j)(z-π/2)^j …(1)

となるような[任意の整数jに対して]c(j)が存在する

tan(z)
はz=π/2でローラン展開できるのだから

tan(z)=Σ[n=-∞～∞]a(n)(z-π/2)^n
となるような[任意の整数nに対して]a(n)が存在する
↓両辺を(z-π/2)で割ると

tan(z)/(z-π/2)=Σ[n=-∞～∞]a(n)(z-π/2)^(n-1)

↓j=n-1 とするとn=j+1だから

tan(z)/(z-π/2)=Σ[j=-∞～∞]a(j+1)(z-π/2)^j
=
tan(z)/(z-π/2)=Σ[j=-∞～∞]c(j)(z-π/2)^j …(1)
だから
∴
a(j+1)=c(j)

j≦-3 のとき
n=j+1≦-2 だから　c(j)=a(j+1)=a(n)=0

この回答へのお礼

以下の様に編集。

引用した以上の理由から

g(z)=tan(z)(z-π/2)に関して、
m≦-1の時に、
例えばm=-3やm=-2やm=-1のg(z)=Σ[m=-1～-∞]b(m)(z-π/2)^mの式の項は発散してしまい、b(0)より前のb(-3)やb(-2)やb(-3)を含む項自体が作れない為、

mの範囲をm≦-1作れて、
mが-1以下の範囲でのb(m)の値は0になる為、
b(m)の式は作れない為、
b(m)=0となるので、
b(m)=0となるmの範囲はm≦-1と置かなければいけなくて、

g(z)
=tan(z)(z-π/2)
=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^m
=tan(z)(z-π/2)=b(0)+b(1)(z-π/2)+…

の様にb(0)を含む項であるb(0)からtan(z)(z-π/2)の式が作れたのだとわかりました。


(※g(z)=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^mのΣ[m=0～∞]がΣ[m=-1～∞]と置けるなどの話については、
m=-1の時を考慮してもb(-1)は0となる為、Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^mの時と同じ展開の式になるのでΣ[m=-1～∞]と置けたと思っています。)


質問20も同様に、

tan(z)/(z-π/2)に関して、
j≦-3の時に、
例えばj=-5やj=-4やj=-3のtan(z)/(z-π/2) =Σ[j=-3～-∞]c(j)(z-π/2)^jの式の項は発散してしまい、c(-2)より前のc(-5)やc(-4)やc(-3)を含む項自体が作れない為、

jの範囲をj≦-3作れて、
jが-3以下の範囲でのc(j)の値は0になる為、
c(j)の式は作れない為、
c(j)=0となるので、
c(j)=0となるjの範囲はj≦-3と置かなければいけなくて、

tan(z)/(z-π/2)
=Σ[j=-2～∞]c(j)(z-π/2)^j
=c(-2)/(z-π/2)^2+c(-1)/(z-π/2)+…

の様にc(-2)を含む項であるc(-2)/(z-π/2)^2からtan(z)/(z-π/2)の式が作れたのだとわかりました。


余談ですが、

f(z)=tan(z)に関して、
n≦-2の時に、
例えばn=-4やn=-3やn=-2のf(z)=Σ[n=-2～-∞]a(n)(z-π/2)^nの

お礼日時：2025/02/16 11:24

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/14 15:57

質問17

n=-1 のとき

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=tan(z)
=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+…

の留数 -1次の項
a(-1)/(z-π/2)
の係数
a(-1)

n=1 のとき

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=tan(z)/(z-π/2)^2
=a(-1)/(z-π/2)^3+a(0)/(z-π/2)^2+a(1)/(z-π/2)+a(2)+…

の留数 -1次の項
a(1)/(z-π/2)
の係数
a(1)

だから
一つの式ではありません

n=-1 のときtan(z)/(z-π/2)^(n+1)=tan(z)
と
n=1 のときtan(z)/(z-π/2)^(n+1)=tan(z)/(z-π/2)^2
は
違う式です

質問18,19

g(z)=tan(z)(z-π/2)はz=π/2でローラン展開できるのだから

g(z)=tan(z)(z-π/2)のz=π/2でのローラン展開

g(z)
=
tan(z)(z-π/2)=Σ[m=-∞～∞]b(m)(z-π/2)^m

となるような[任意の整数mに対して]b(m)が存在する

左辺がz→π/2のとき
lim[z→π/2]tan(z)(z-π/2)=-1
と収束するのだから
右辺も収束する
もし
m≦-1 のとき　b(m)≠0と仮定すると
lim[z→π/2]b(m)(z-π/2)^m=∞　に発散するから
から
m≦-1 のとき　b(m)=0 でなければならない
だから

Σ[m=-∞～∞]b(m)(z-π/2)^m
=Σ[m=-1～∞]b(m)(z-π/2)^m
=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^m

となる

この回答へのお礼

ありがとうございます。

私の誤字で質問19が２つありました。

二つ目の質問19を質問20とします。


>> 左辺がz→π/2のとき
lim[z→π/2]tan(z)(z-π/2)=-1
と収束するのだから
右辺も収束する
もし
m≦-1 のとき　b(m)≠0と仮定すると
lim[z→π/2]b(m)(z-π/2)^m=∞　に発散するから
から
m≦-1 のとき　b(m)=0 でなければならない
だから



引用した以上の理由から
m≦-1の時に、
例えばm=-3やm=-2やm=-1のg(z)=Σ[m=∞～∞]b(m)(z-π/2)^mの式の項は発散してしまい、b(0)より前のb(-3)やb(-2)やb(-3)を含む項自体が作れない為、

b(m)=0でなければいけなく、mの範囲をm≦-1として、

g(z)
=
tan(z)(z-π/2)=0/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+…
tan(z)(z-π/2)=b(-1)/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+…

の様にb(0)を含む項(b(0))からtan(z)(z-π/2)の式を作れたのだとわかりました。



質問20も同様に、

j≦-3の時に、
例えばj=-5やj=-4やj=-3のtan(z)/(z-π/2) =Σ[j=-∞～∞]c(j)(z-π/2)^jの式の項は発散してしまい、c(-2)より前のc(-5)やc(-4)やc(-3)を含む項自体が作れない為、

c(j)=-2とでなければいけなく、jの範囲をj≦-3として、

tan(z)/(z-π/2)
=Σ[j=-∞～∞]c(j)(z-π/2)^j
=c(-2)/(z-π/2)^2+c(-1)/(z-π/2)+…

の様にc(-2)を含む項(c(-2)/(z-π/2)^2)からtan(z)(z-π/2)の式を作れたのだとわかりました。



質問17の解答に関しては、

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)などnを含んだ式に関しては、

随分前にn≧-1の時やn≦-2の時などの場合分けをして、n≧-1の時、
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は正則では無い為、

お礼日時：2025/02/15 01:30

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/14 04:19

質問14,15

g(z)=tan(z)(z-π/2)のローラン展開を

g(z)
=
tan(z)(z-π/2)=Σ[m=-∞～∞]b(m)(z-π/2)^m
と仮定すると
左辺がz→π/2のとき
lim[z→π/2]tan(z)(z-π/2)=-1
と収束するのだから
右辺も収束するから
m≦-1 のとき
b(m)=0
となるから
b(-1)=0
と定まる

仮定に理由等必要ない

質問16
f(z)=tan(z)/(z-π/2)は間違いで
h(z)=tan(z)/(z-π/2)でした

h(z)=tan(z)/(z-π/2)のローラン展開を

h(z)
=
tan(z)/(z-π/2)=Σ[j=-∞～∞]c(j)(z-π/2)^j
と仮定すると

j≦-3 に対してc(j)=0となるから

tan(z)/(z-π/2)
=Σ[j=-∞～∞]c(j)(z-π/2)^j
=c(-2)/(z-π/2)^2+c(-1)/(z-π/2)+…

となる

仮定に理由等必要ない

この回答へのお礼

ありがとうございます。

質問14と質問15ついての解答に関して質問があります。


質問18,
Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^mの式の
Σ[m=0～∞]が
Σ[m=-1～∞]と置ける理由については

g(z)=tan(z)(z-π/2)=Σ[m=-∞～∞]b(m)(z-π/2)^m
とすると
左辺がz→π/2のとき
lim[z→π/2]tan(z)(z-π/2)=-1
と収束するのだから
右辺も収束するから

(収束すると言う事は、g(z)=tan(z)(z-π/2)の式は正則と言う事であるが、
正則の式でも質問に載せた画像の様にa(-2)=0と言う留数を持つ。)

g(z)=tan(z)(z-π/2)の式が収束するので、g(z)=tan(z)(z-π/2)の式と=のΣ[m=-∞～∞]b(m)(z-π/2)^mの式はmの値がどんな値であれ収束する為、

Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^mの式の
Σ[m=0～∞]が
Σ[m=-1～∞]と置けるわけでしょうか？



質問19,
tan(z)(z-π/2)=Σ[m=-∞～∞]b(m)(z-π/2)^m
とすると

m≦-1の時、
Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^mの式はm=0から始まる為、それより前の項は存在しない為、
m=0よりmの値が小さいm≦-1の時、b(m)=0 となる為、
b(-1)の値は0と求まる為、
b(-1)=0となる。

そして、b(-1)の値は質問に載せた画像のg(z)=tan(z)(z-π/2)のローラン展開の式の-2次の項1/(z-π/2)^2の係数a(-2)と値が一致する為、

b(-1)=a(-2)と導けると言う事はわかりました。


しかし、
Σ[m=∞～∞]b(m)(z-π/2)^mの式に関して、
b(m)=0と導く際に、なぜmの範囲をm≦-1とすれば良いとわかったのでしょうか？



質問16についての解答に関して質問があります。


質問19,
h(z)=tan(z)/(z-π/2)=Σ[j=-∞～∞]c(j)(z-π/2)^jとすると

j≦-3の時、
g(z)=Σ[j=-2～∞]c(j)(z-π/2)^jの式はj=-2から始まる為、それより前の項は存在しない為、
j=-2よりjの値が小さい j≦-3の時、
c(j)=0となる為、

お礼日時：2025/02/14 08:17

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/12 20:19

質問10

g(z)=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^m

には-1次の項は無いのだから
-1次の項の係数
b(-1)=0
となるのです

-1次の項の係数b(-1)が0でなかったら

g(z)=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^m
とかくことができないのです
だから

b(-1)=0でなければならないのです

質問10

b(-1)=0
と定めれば
-1次の項b(-1)/(z-π/2)=0 となるから

g(z)
=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^m
=Σ[m=-1～∞]b(m)(z-π/2)^m

となるのです

質問12

b(-1)=0
だから
g(z)=tan(z)(z-π/2)テイラー展開は

g(z)
=
tan(z)(z-π/2)=0/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+…
tan(z)(z-π/2)=b(-1)/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+… (1)
の
(z-π/2)の分子がc(-1)ではなくb(-1)=0になるのです

質問13

f(z)=tan(z)/(z-π/2)ローラン展開

tan(z)/(z-π/2)=c(-2)/(z-π/2)^2+c(-1)/(z-π/2)+…(1)
の部分に関して、

(z-π/2)^2の分子がc(-2)となり、
(z-π/2)の分子がc(-1)となるのではなく

f(z)=tan(z)/(z-π/2)ローラン展開の
-2次の項1/(z-π/2)^2の係数をc(-2)と定める(置く)のです
-1次の項1/(z-π/2)の係数をc(-1)と定める(置く)のです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

私の質問12に誤字がありました。

以下のURLに質問12のどこに誤字があったかを載せました。

https://pastebin.com/j1305sXT


質問12を訂正、編集して質問14として質問します。


質問14,
>> b(-1)=0
だから
g(z)=tan(z)(z-π/2)テイラー展開は

g(z)
=
tan(z)(z-π/2)=0/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+…
tan(z)(z-π/2)=b(-1)/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+… (1)



「tan(z)(z-π/2)=b(-1)/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+… (1)」の部分に関して、

なぜ、-1次の項1/(z-π/2)の係数をb(-1)と定められたのでしょうか？

その様に定める事が出来た理由が知りたいです。



質問10についての解答に関して質問があります。


質問15,
>> b(-1)=0
と定めれば
-1次の項b(-1)/(z-π/2)=0 となるから

g(z)
=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^m
=Σ[m=-1～∞]b(m)(z-π/2)^m

となるのです



申し訳ありません。
どうかもう少しわかりやすく過程の計算を踏まえて、
Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^mの式の
Σ[m=0～∞]が
Σ[m=-1～∞]と置けるのかを教えて頂けないでしょうか。



質問13についての解答に関して質問があります。


質問16,
>> f(z)=tan(z)/(z-π/2)ローラン展開の
-2次の項1/(z-π/2)^2の係数をc(-2)と定める(置く)のです
-1次の項1/(z-π/2)の係数をc(-1)と定める(置く)のです



なぜf(z)=tan(z)/(z-π/2)ローラン展開の
-2次の項1/(z-π/2)^2の係数をc(-2)と定められたのでしょうか？
-1次の項1/(z-π/2)の係数をc(-1)と定められたのでしょうか？

その様に定める事が出来た理由が知りたいです。


どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/02/13 20:51

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/12 06:04

質問5,6

b(-1)=0
とすれば

g(z)
=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^m
=Σ[m=-1～∞]b(m)(z-π/2)^m
=b(-1)/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+…
=0/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+…

だから

b(-1)=0

となる


質問7

b(-1)=0
だから
g(z)=tan(z)(z-π/2)テイラー展開は

g(z)
=
tan(z)(z-π/2)=0/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+…
tan(z)(z-π/2)=b(-1)/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+… (1)

a(-2)=0
とすれば
f(z)=tan(z)のローラン展開
tan(z)=0/(z-π/2)^2+a(-1)/(z-π/2)+a(0)+…
tan(z)=a(-2)/(z-π/2)^2+a(-1)/(z-π/2)+a(0)+…

↓両辺に(z-π/2)をかけると

tan(z)(z-π/2)=a(-2)/(z-π/2)+a(-1)+a(0)(z-π/2)+…
=
tan(z)(z-π/2)=b(-1)/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+… (1)
だから

b(-1)=0=a(-2)
となる

質問8,9
f(z)=tan(z)/(z-π/2)ローラン展開

tan(z)/(z-π/2)=c(-2)/(z-π/2)^2+c(-1)/(z-π/2)+…(1)

とする

f(z)=tan(z)ローラン展開

tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+…

↓両辺を(x-π/2)で割ると

tan(z)/(z-π/2)=a(-1)/(z-π/2)^2+a(0)/(z-π/2)+…
=
tan(z)/(z-π/2)=c(-2)/(z-π/2)^2+c(-1)/(z-π/2)+…(1)

だから

c(-1)=a(0)

この回答へのお礼

ありがとうございます。

質問5と質問6についての解答に関して質問があります。


質問10,
>> b(-1)=0
とすれば

g(z)
=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^m
=Σ[m=-1～∞]b(m)(z-π/2)^m
=b(-1)/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+…
=0/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+…



b(-1)=0との事ですが、なぜb(-1)が0だと分かったのでしょうか？

g(z)=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^mの式にm=-1を代入して、
b(-1)=0となるまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。


質問11,
「g(z)
=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^m
=Σ[m=-1～∞]b(m)(z-π/2)^m」

の計算の部分に関して、

なぜΣ[m=0～∞]をΣ[m=-1～∞]とmの範囲を変えることが出来るのでしょうか？



質問7についての解答に関して質問があります。


質問12,
>> b(-1)=0
だから
g(z)=tan(z)(z-π/2)テイラー展開は

g(z)
=
tan(z)(z-π/2)=0/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+…
tan(z)(z-π/2)=b(-1)/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+… (1)



「tan(z)(z-π/2)=b(-1)/(z-π/2)+b(0)+b(1)(z-π/2)+… (1)」の部分に関して、

なぜ、(z-π/2)の分子がc(-1)となるのでしょうか？



質問8と質問9 についての解答に関して質問があります。


質問13,
>>f(z)=tan(z)/(z-π/2)ローラン展開

tan(z)/(z-π/2)=c(-2)/(z-π/2)^2+c(-1)/(z-π/2)+…(1)

とする



「tan(z)/(z-π/2)=c(-2)/(z-π/2)^2+c(-1)/(z-π/2)+…(1)」の部分に関して、

なぜ、(z-π/2)^2の分子がc(-2)となり、
(z-π/2)の分子がc(-1)となるのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/02/12 18:52

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/11 20:12

質問1,

g(z)=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^mの式はm=0からだから

b(-1)=0

と
b(-1)が導ける

質問2,

tan(z)のローラン展開の-2次係数0
a(-2)の値0と
g(z)=tan(z)(z-π/2)を
テイラー展開した際のz=π/2の時の留数
b(-1)=0
の値が一致し
b(-1)=0=a(-2)
となる

質問3,
f(z)=tan(z)ローラン展開

tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+…

↓両辺を(x-π/2)で割ると

tan(z)/(z-π/2)=a(-1)/(z-π/2)^2+a(0)/(z-π/2)+…
=
tan(z)/(z-π/2)=c(-2)/(z-π/2)^2+c(-1)/(z-π/2)+…

だから

c(-1)=a(0)

質問4,
f(z)=tan(z)ローラン展開

tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+…

↓両辺を(x-π/2)で割ると

tan(z)/(z-π/2)=a(-1)/(z-π/2)^2+a(0)/(z-π/2)+…
=
tan(z)/(z-π/2)=c(-2)/(z-π/2)^2+c(-1)/(z-π/2)+…

だから

c(-1)=a(0)

この回答へのお礼

ありがとうございます。

質問4については、
「g(z)=Σ[j=-2～∞]c(j)(z-π/2)^jの式はj=-2からですが、
なぜg(z)=Σ[j=-2～∞]c(j)(z-π/2)^jの式からc(-1)が導けるのでしょうか？」
より、
Σ[j=-2～∞]の範囲にj=-1が含まれている為、c(-1)が導けるとわかりました。



質問1の解答についての新たな質問を質問5と質問6とします。

質問5,
g(z)=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^mの式にm=0からなのはわかります。
なぜΣ[m=0～∞]の範囲に含まれていないm=-1を扱えるのか理由を知りたいのです。

質問6,
b(-1)=0と導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。



質問2の解答についての新たな質問を質問7とします。

質問7,
b(-1)=0=a(-2)となる事を計算過程を踏まえて説明して頂けないでしょうか？



質問3と質問4の解答についての新たな質問を質問8とします。

質問8,
>> tan(z)/(z-π/2)=a(-1)/(z-π/2)^2+a(0)/(z-π/2)+…
=
tan(z)/(z-π/2)=c(-2)/(z-π/2)^2+c(-1)/(z-π/2)+…



との事ですが、a(-1)の部分が次の式でc(-2)といきなり変わっていますが、
どうやってa(-1)の部分をc(-2)に変えたのでしょうか？
どうかa(-1)の部分をc(-2)に置き換えれる理由を教えて下さい。



質問4の解答についての新たな質問を質問9とします。

質問9,
c(-1)=a(0)となる事を計算過程を踏まえて説明して頂けないでしょうか？



質問7と質問9に関しては、
お手数をお掛けして申し訳ありませんが、出来れば画像の様にわかりやすく説明して頂けると大変助かります。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/02/12 05:03