f(z)=(z^2-1)のテイラー展開とマクローリン展開とローラン展開について質問があります。 質問

f(z)=(z^2-1)のテイラー展開とマクローリン展開とローラン展開について質問があります。


質問1,
f(z)=(z^2-1)のテイラー展開とマクローリン展開の導き方を詳しい過程の計算を用いて教えて頂けないでしょうか？


質問2,
f(z)=(z^2-1)のテイラー展開とマクローリン展開には
i)0<r<2の場合でn≧-1あるいはn≦-2の場合わけ
ii)2<rの場合でn≧-1あるいはn≦-2の場合わけ
は存在するでしょうか？

もし存在する場合は
f(z)=(z^2-1)のi)とii)の場合わけによるテイラー展開とf(z)=(z^2-1)のi)とii)の場合わけによるマクローリン展開をそれぞれ過程の計算を用いて説明して頂けないでしょうか？


質問3,
2024.5.8 08:24にした質問の2024.5.9 11:17の解答や2024.5.9 17:30にmtrajcp様から頂いた解答を参考に、

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}を
テイラー展開出来る形g(z)=(z-π/2)f(z)にしてからf(z)=(z^2-1)のローラン展開を導いて、
そのf(z)=(z^2-1)のローラン展開の次項(z-1)をずらしてf(z)=(z^2-1)のテイラー展開やマクローリン展開を求めた場合、
質問1と同じf(z)=(z^2-1)のテイラー展開やマクローリン展開を求めた事になるのでしょうか？

もしそうならば、
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}を
テイラー展開出来る形g(z)=(z-π/2)f(z)にしてからf(z)=(z^2-1)のローラン展開を導いて、
そのf(z)=(z^2-1)のローラン展開の次項(z-1)をずらして求めたf(z)=(z^2-1)のテイラー展開やマクローリン展開が
質問1と同じf(z)=(z^2-1)のテイラー展開やマクローリン展開になる事を過程の計算を用いて教えて頂けないでしょうか？


どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• Tacosan様、ありがとうございます！
  
  とんでもないミスをしていました。
  
  f(z)=(z^2-1)
  
  は誤りで
  
  正しくは
  
  f(z)=1/(z^2-1)
  
  です！

    補足日時：2025/03/10 04:41

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/10 07:00

＞ f(z)=(z^2-1)

＞ は誤りで
＞ 正しくは
＞ f(z)=1/(z^2-1)

本当にミスなら、再投稿までして同じミスってことはあり得るのか？
f(z) = 1/(z^2-1) なら、テイラー展開をきくのに
展開中心を指定ないのは不自然だし。

質問1：
f(z) = 1/(z^2-1) のマクローリン展開なら、
等比級数の公式を逆用すればいい。
f(z) = -1/(1 - z^2) = Σ[k=0→∞] (-1)(z^2)^k
　　= Σ[k=0→∞] -z^(2k).

これも、
f(z) = -1 + 0z - z^2 + 0z^3 - z^4 + ...
と書かないとピンと来ないのかどうか。

テイラー展開は、中心が ±1 かどうかで違ってくる。
今度は、場合分けが必要。

中心が z = c ≠ ±1 の場合は、
多項式のとき同様、マクローリン展開を平行移動してもいいし、
f(z) = (1/2){ 1/(z-1) - 1/(z+1) } から
1/(z-1) = 1/{ (z-c) + c - 1 } = { 1/(c-1) }/{ 1 - (-(z-c)/(c-1)) }
　　　= Σ[k=0→∞] { 1/(c-1) } (-(z-c)/(c-1))^k
　　　= Σ[k=0→∞] { -1/(-c+1)^(k+1) } (z-c)^k,
1/(z+1) = 1/{ (z-c) + c + 1 } = { 1/(c+1) }/{ 1 - (-(z-c)/(c+1)) }
　　　= Σ[k=0→∞] { 1/(c+1) } (-(z-c)/(c+1))^k
　　　= Σ[k=0→∞] { -1/(-c-1)^(k+1) } (z-c)^k
を使って
f(z) = (1/2){ Σ[k=0→∞] { -1/(-c+1)^(k+1) } (z-c)^k - Σ[k=0→∞] { -1/(-c-1)^(k+1) } (z-c)^k }
　　= Σ[k=0→∞] (1/2){ -1/(-c+1)^(k+1) + 1/(-c-1)^(k+1) } (z-c)^k
でもいい。

中心が z = ±1 の場合には、
f(z) が中心で非正則だから、テイラー展開は存在しない。

質問2：
f(z) = 1/(z^2-1) のテイラー展開には、上記のとおり
展開中心が z ≠ ±1 かどうかの場合分けがあるが...
依然、 r と n が何者だか判らないな。
ひょっとして、収束半径のことを r と書いているなら、
マクローリン展開の収束半径は 1,
z = c を中心とするテイラー展開の収束半径は min{ |c-1|, |c+1| } だが
収束半径が冪級数展開の式に変化を与えることはない。
それにしても n って？

質問3：
これも、No.2 と同じ。
f(z) = 1/(z^2-1), g(z) = (z-π/2)f(z) と
g(z) = 1/{(z+1)(z-1)^(n+2)} の
g(z) は同じにならない。

f(z) = 1/(z^2-1) をローラン展開したいなら、
f(z) = (1/2)/(z-1) - (1/2)/(z+1) から
右辺のそれぞれの項をローラン展開すればいい。
そのとき、展開中心において正則な項のローラン展開は
テイラー展開に一致する。

中心が ±1 以外なら、両項とも正則だから
上記のテイラー展開と同じ。

中心が 1 なら、
(1/2)/(z-1) がローラン展開の主要部になっていて、
-(1/2)/(z+1) は正則だからテイラー展開すればいい。
f(z) = (1/2)/(z-1) - (1/2)/(1 - (-z))
　　= (1/2)/(z-1) - Σ[k=0→∞] (1/2)(-z)^k.

中心が -1 の場合も、やり方は同じ。

今回は f(z) が分数式だから、
君が好きないつもの公式を使う必要は無いよ。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/10 06:05

あ、昨日の朝、回答したら削除された質問が

また投稿されている。
なぜ、こういうことをするのかな？

質問１：
昨日も書いたとおり、多項式のマクローリン展開は
項を昇冪順に並べるだけだよ。
f(z) = (z^2-1) のマクローリン展開なら、
f(z) = -1 + z^2.

これを
f(z) = -1 + 0z + z^2 + 0z^3 + 0z^4 + 0z^5 + ...
と書かないと解らないのかな？
って話も、昨日書いたとおり。

テイラー展開は、これを平行移動するだけ。
展開中心が z = c なら、
f(z) = -1 + z^2 = -1 + { (z-c) + c }^2 の
{ }^2 を展開して、
f(z) = -1 + (z-c)^2 + 2(z-c)c + c^2
　　= (-1+c^2) + 2c(z-c) + (z-c)2.

質問2：
上記のように、場合分けは要らない。
だいたい、 r とか n とか何者だよ？

質問3：
f(z) = (z^2-1) から g(z) = (z-π/2)f(z) としたら
g(z) = (z-π/2)(z^2-1).
g(z) = 1/{(z+1)(z-1)^(n+2)} になるわけないでしょ。
何言ってんの？

マクローリン展開にせよ、テイラー展開にせよ、ローラン展開にせよ、
関数と中心が同じなら展開はひとつに定義されてるわけで、
係数を計算する方法によって異なる級数が得られるわけじゃない。
冪級数展開の一意性を理解していないなら、
計算手技よりまずそこを勉強してからはじめるべき。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/03/10 02:26

f(z) = (z^2-1) のマクローリン展開は

f(z) = z^2-1
だ.

ただ, いい加減「テイラー展開」「マクローリン展開」「ローラン展開」のそれぞれがどのようなものかを理解した方がいいんじゃないかなぁ....

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「テイラー展開」(特異点とならない)意図したzでの近似式を導く展開の式

「マクローリン展開」z=0での近似式を導く展開の式

「ローラン展開」特異点となるzでの近似式を導く展開の式

と心得ています。

お礼日時：2025/03/10 04:44