
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/14045186.html
で、mtrajcpさんが回答されている式変形についてです。
リンク元の画像は不鮮明ですが
(D^2+1)y = 1/(cos^3(x))
の左辺を
(D^2+1)y = (D+i)(D-i)y
= (D+i)e^(ix)e^(-ix)(D-i)y ……(A)
= e^(ix)D{ e^(-ix)(D+i)y } ……(B)
のように変形していると思います。演算子 D を含む多項式は、普通の数のように因数分解したり、展開できると思いますが、(A)から(B) の変形がよくわかりません。普通に計算してしまうと
(D+i)e^(ix)e^(-ix)(D-i)y
= { e^(ix)D+e^(ix)i }e^(-ix)(D-i)y
= e^(ix)D{ e^(-ix)(D-i)y } + e^(ix)i{ e^(-ix)(D-i)y }
= e^(ix)D{ e^(-ix)(D-i)y } + i(D-i)y
となってしまうのですが・・・
No.4
- 回答日時:
(D+i)(D-i)ではなく(D-i)(D+i)です
(D^2+1)y = (D+i)(D-i)y
= (D+i)e^(ix)e^(-ix)(D-i)y ……(A)ではなく
(D^2+1)y = (D-i)(D+i)y
= (D-i)e^(ix)e^(-ix)(D+i)y ……(A)です
f(x)=e^(-ix)(D+i)y
とする
D{e^(ix)f(x)}=ie^(ix)f(x)+e^(ix)D{f(x)}
↓両辺に{-ie^(ix)f(x)}を加えると
D{e^(ix)f(x)}-ie^(ix)f(x)=e^(ix)D{f(x)}
(D-i)e^(ix)f(x)=e^(ix)D{f(x)}
↓f(x)=e^(-ix)(D+i)y だから
(D-i)e^(ix)e^(-ix)(D+i)y=e^(ix)D{e^(-ix)(D+i)y}……(B)
f(x)=e^(-ix)(D+i)y
D{e^(ix)f(x)}=ie^(ix)f(x)+e^(ix)D{f(x)}
わかりました!
とても思いつかない変形です。丁寧な回答まことにありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
実は、mtrajcpさんの方法は普通のやり方でなく、一般解も求め複雑すぎるので私も詳細の検討はやめました。
ただ、そこに述べられた「絶妙」のアイデアを正当な?演算子法に適用すると特殊解が求まったのでよしとしました。(D²+1)y=1/cos³x・・・・①
の特殊解を演算子法で
y={1/(D+i)}{1/(D-i)}8/(e^(ix)+e^(-ix))³
を求めます。
まず、公式
{1/(D-a)}F(x)=e^(ax)∫e^(-ax)F(x)dx
を使います。
A={1/(D-i)}8/(e^(ix)+e^(-ix))³
=8e^(ix)∫e^(-ix)/(e^(ix)+e^(-ix))³ dx
=8e^(ix)∫e^(i2x)/(e^(i2x)+1)³ dx・・・・この変形がすごい!!
ここで
t=e^(i2x)+1 とおくと dt=i2e^(i2x)dx
だから
A=8e^(ix)∫(dt/i2)/t³=(4/i)e^(ix)(-1/(2t²))=(2/i)e^(ix)(-1/t²)
つぎに、どうせ tの変形をするのでそのままにして
y={1/(D+i)}A=e^(-ix)(2/i)∫e^(ix)e^(ix)(-1/t²)dx
=(2/i)e^(-ix)∫e^(i2x)dx(-1/t²)=(2/i)e^(-ix)∫(dt/i2)(-1/t²)
=(2/i)e^(-ix)(1/i2)(1/t)
=-e^(-ix)/{e^(i2x)+1}
=-e^(-ix)e^(-ix)/{e^(ix)+e^(-ix)}
=-e^(-ix){(e^(ix)+e^(-ix))-e^(ix)}/{e^(ix)+e^(-ix)}
・・・・・この変形もすごい!!
=-e^(-ix)[1-e^(ix)/{e^(ix)+e^(-ix)}]
=-e^(-ix)+1/{e^(ix)+e^(-ix)}
=-e^(-ix)+1/(2cos x)
となる。
これを特殊解にしてもよいが、e^(±ix) は①の斉次式の解であるから、削除しても構わない。したがって、より簡単な特殊解は
y=1/(2cos x)
となる。
ちなみに斉次式の一般解は一次独立な解、e^(±ix) の線型結合だから、
mtrajcpさんのように実数の cos, sinにできる。
丁寧な回答まことにありがとうございました。
テキストをWordに打ち直しじっくり検討します。
実は私もmtrajcpさんの方法を見て圧倒されました。
No.1
- 回答日時:
貴方の式変形の方が正しいですよ。
(B)を続けると、[e^(ix)e^(-ix)=1だから]D(D+i)yになってしまう。
貴方の式変形を続けると(D+i)(D-i)yになりますから。
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