演算子法についての式変形について

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/14045186.html

で、mtrajcpさんが回答されている式変形についてです。

　リンク元の画像は不鮮明ですが

　　(D^2+1)y = 1/(cos^3(x))

の左辺を

　　(D^2+1)y = (D+i)(D-i)y
　　　　　　 = (D+i)e^(ix)e^(-ix)(D-i)y ……(A)
　　　　　　 = e^(ix)D{ e^(-ix)(D+i)y } ……(B)

のように変形していると思います。演算子 D を含む多項式は、普通の数のように因数分解したり、展開できると思いますが、(A)から(B) の変形がよくわかりません。普通に計算してしまうと

　　(D+i)e^(ix)e^(-ix)(D-i)y
　= { e^(ix)D+e^(ix)i }e^(-ix)(D-i)y
　= e^(ix)D{ e^(-ix)(D-i)y } + e^(ix)i{ e^(-ix)(D-i)y }
　= e^(ix)D{ e^(-ix)(D-i)y } + i(D-i)y

となってしまうのですが・・・

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/03 21:15

違います

(D^2+1)y = (D-i)(D+i)y
　　　　= (D-i)e^(ix)e^(-ix)(D+i)y ……(A)
　　　 = e^(ix)D{ e^(-ix)(D+i)y } ……(B)
です

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
お聞きしたいのはどうして（A)から（B)になるのかということです。
途中経過の式を提示してくれたら、自分の式変形のミスがわかりますからありがたいです。

お礼日時：2025/03/03 21:26

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/03 21:47

(D+i)(D-i)ではなく(D-i)(D+i)です

(D^2+1)y = (D+i)(D-i)y
= (D+i)e^(ix)e^(-ix)(D-i)y ……(A)ではなく

(D^2+1)y = (D-i)(D+i)y
　　　　= (D-i)e^(ix)e^(-ix)(D+i)y ……(A)です

f(x)=e^(-ix)(D+i)y
とする

D{e^(ix)f(x)}=ie^(ix)f(x)+e^(ix)D{f(x)}

↓両辺に{-ie^(ix)f(x)}を加えると

D{e^(ix)f(x)}-ie^(ix)f(x)=e^(ix)D{f(x)}

(D-i)e^(ix)f(x)=e^(ix)D{f(x)}

↓f(x)=e^(-ix)(D+i)y　だから

(D-i)e^(ix)e^(-ix)(D+i)y=e^(ix)D{e^(-ix)(D+i)y}……(B)

この回答へのお礼

f(x)=e^(-ix)(D+i)y
D{e^(ix)f(x)}=ie^(ix)f(x)+e^(ix)D{f(x)}

　わかりました！
　とても思いつかない変形です。丁寧な回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2025/03/03 22:37

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/03/03 21:22

実は、mtrajcpさんの方法は普通のやり方でなく、一般解も求め複雑すぎるので私も詳細の検討はやめました。

ただ、そこに述べられた「絶妙」のアイデアを正当な?演算子法に適用すると特殊解が求まったのでよしとしました。

　(D²+1)y=1/cos³x・・・・①
の特殊解を演算子法で
　y={1/(D+i)}{1/(D-i)}8/(e^(ix)+e^(-ix))³
を求めます。

まず、公式
{1/(D-a)}F(x)=e^(ax)∫e^(-ax)F(x)dx
を使います。

　A={1/(D-i)}8/(e^(ix)+e^(-ix))³
　　=8e^(ix)∫e^(-ix)/(e^(ix)+e^(-ix))³ dx
　　=8e^(ix)∫e^(i2x)/(e^(i2x)+1)³ dx・・・・この変形がすごい!!
ここで
　t=e^(i2x)+1 とおくと　dt=i2e^(i2x)dx
だから
　A=8e^(ix)∫(dt/i2)/t³=(4/i)e^(ix)(-1/(2t²))=(2/i)e^(ix)(-1/t²)

つぎに、どうせ　tの変形をするのでそのままにして
　y={1/(D+i)}A=e^(-ix)(2/i)∫e^(ix)e^(ix)(-1/t²)dx
　　=(2/i)e^(-ix)∫e^(i2x)dx(-1/t²)=(2/i)e^(-ix)∫(dt/i2)(-1/t²)
　　=(2/i)e^(-ix)(1/i2)(1/t)
　　=-e^(-ix)/{e^(i2x)+1}
　　=-e^(-ix)e^(-ix)/{e^(ix)+e^(-ix)}
　　=-e^(-ix){(e^(ix)+e^(-ix))-e^(ix)}/{e^(ix)+e^(-ix)}
・・・・・この変形もすごい!!
　　=-e^(-ix)[1-e^(ix)/{e^(ix)+e^(-ix)}]
　　=-e^(-ix)+1/{e^(ix)+e^(-ix)}
　　=-e^(-ix)+1/(2cos x)
となる。

これを特殊解にしてもよいが、e^(±ix) は①の斉次式の解であるから、削除しても構わない。したがって、より簡単な特殊解は
　y=1/(2cos x)
となる。

ちなみに斉次式の一般解は一次独立な解、e^(±ix) の線型結合だから、
mtrajcpさんのように実数の cos, sinにできる。

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。
　テキストをWordに打ち直しじっくり検討します。

　実は私もmtrajcpさんの方法を見て圧倒されました。

お礼日時：2025/03/03 21:35

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2025/03/03 21:11

貴方の式変形の方が正しいですよ。

(B)を続けると、[e^(ix)e^(-ix)=1だから]D(D+i)yになってしまう。

貴方の式変形を続けると(D+i)(D-i)yになりますから。