媒介変数 x = t + 1/t-1 , y = t - 1/t-1

tを媒介変数として，x=t + 1/t-1, y=t - 1/t-1 で表される曲線をx，yの方程式で表せ。
が分かりません。どなたか教えてください。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/17 07:08

>xy=0はx=0、y=0に漸近する双曲線

間違えた。訂正。
xy=1はx=0、y=0に漸近する双曲線

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/16 09:23

問題の主旨から離れてしまいますが

双曲線の一般形のひとつとして
(ax+by+c)(dx+ey+f)=k
(x、yは座標値、a~f、kは定数)
というのが有ります。

これは、直線 ax+by+c=0と直線dx+ey+f=0
に漸近する双曲線です。

x^2/a^2-y^2/b^2=1 → (x/a+y/b)(x/a-y/b)=1
は bx+ay=0　(y=-(b/a)x)、bx-ay=0　(y=(b/a)x) に漸近する双曲線
xy=0はx=0、y=0に漸近する双曲線


(x+y+2)(x-y)=4
は
x+y=-2, x=y に漸近する双曲線ですから
おおよその形がわかります。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/15 05:29

x=t+(1/t)-1

y=t-(1/t)-1
x+1=t+1/t
y+1=t-1/t
(x+1)+(y+1)=2t
(x+1)-(y+1)=2/t
(x+1)^2-(y+1)^2=4
{(x+1)/2}^2-{(y+1)/2}^2=1
中心(-1,-1)の双曲線

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/14 13:18

x = t + (1/t) -1,

y = t - (1/t) - 1
と解釈すると、No.4 の答えになるね。

あと、あの質問の書き方だと
x = (t + 1)/(t - 1),
y = (t - 1)/(t - 1) の可能性も捨てきれないんだろうか。
この場合は、
直線から１点が抜けた x ≠ 1, y = 1 かな。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/14 11:54

両式から x ≠ y

1/t＝(x-y)/2 , t = 2/(x-y) だから、これを代入して
x ≠ yを考慮して整理すると両式とも
(x+y+2)(x-y)=4

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/13 22:42

x = t + (1/t) -1,

y = t - (1/t) - 1
と解釈したとしても、No.2 の答えにはならないね。

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2025/03/13 21:44

x+y=2t ①

x-y =2/t ②

①よりt=(x+y)/2だから、②に代入してx-y=2･2/(x+y)
(x-y)(x+y)=4

この後は、左辺を展開して両辺を4で割ると、双曲線の式になる。
そこは自分で計算

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/13 21:31

x = t + 1/(t - 1),

y = t - 1/(t - 1)　　　←[1]
って言いたいのかな？

x + y = 2t,
x - y = 2/(t-1)
から
(x + y - 2)(x - y) = 4　　←[2]
が導ける。

この式は必要条件であって、
[2] で表される図形の全域が [1] に対応しているか
どうかは検証が必要。
今回は、結果的に問題ないけど。