独立かどうかの判断のしかた

12枚のカードがある。このうち4枚のカードには数字0が書いてあり、残り8枚のカードには数字１が書いてある。この12枚のカードから同時に3枚のカードを取り出す。このとき、取り出したカードの数字をX、Y、Zとおく。ただし、X≦Y≦Zとする。

上記の場合、X、Y、Zは互いに独立だそうですが、これは同じ数字が4枚以上あるからでしょうか？もしも12枚のカードが、0から5まで2枚ずつだと、X、Y、Zは独立にはなりませんか？

質問者からの補足コメント

• 解説をよく読みなおしてみたら、互いに独立とは書いてありませんでした。間違った質問をしてしまって申し訳ありません！

    補足日時：2025/03/23 16:36

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/23 13:41

同じ数字が4枚以上あっても、そのX,Y,Zは独立ではありません。

X≦Y≦Z って条件で並べ替えちゃってますからね。
例えば、
X=Y=0 の条件下に Z=0 である確率は 1/10 ですが、
X=Y=1 の条件下に Z=0 である確率は 0 です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。枚数にかかわらず、独立にはならないのですね。確かに大小関係で縛られているので、慣れた人ならすぐに従属だとわかるんですね。

お礼日時：2025/03/23 16:38

No.6 回答者： usa3usa 回答日時： 2025/03/24 14:45

>上記の場合、X、Y、Zは互いに独立だそうですが、

えー？

＞ただし、X≦Y≦Zとする。
この条件がある時点で、（X,Y,Zには関連があるので）「独立にならない」と普通は思いますよ

＞解説をよく読みなおしてみたら、互いに独立とは書いてありませんでした。
やっぱり、そうだよね。
安心しました

この回答へのお礼

すみません、確認不足で申し訳ありませんでした。

お礼日時：2025/03/25 11:58

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/23 16:46

XとYが独立なら

X=0の時のY=0の確率①は
X=1の時のY=0の確率②と同じでなければならない。
0<① は明らかだけど②=0
よって①≠②だから独立ではない。

この回答へのお礼

ありがとうございます、そうですよね。

お礼日時：2025/03/25 11:59

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2025/03/23 13:07

No.1 です。

＞このやり方で解くことができるのは、同じ数字が4枚以上あるからでしょうか？

違います。
数字がいくつで何枚であるかと、独立であるかどうかは関係ありません。

サイコロであれば、何回転がしても、毎回の期待値は「3.5」、分散は「35/12」ですから、「3回振ったときの目の合計」は期待値が「10.5」、分散が「35/4」になります。

ちなみに、この問題が「最終的に何を求めるのか」がわかりませんが、どこかで
「E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)
V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y)+V(Z)」
の条件を使うのですか？

この回答へのお礼

質問した問題をもう一度よく読んでみましたが、別の問題と取り違えていて、E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)
V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y)+V(Z)
とは無関係でした。ややこしくしてしまって申し訳ありませんでした！
何枚だろうと、独立と従属には関係ないのですね。

お礼日時：2025/03/23 16:35

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2025/03/23 12:30

xが何で有ってもy,zに影響を与えない

y,zについても同じ。

今日の昼飯が何で有っても明日の天気に影響を与えない。
こう言うのを独立と言う。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。もし12枚のカードが0から5まで2枚ずつだったら、XとYが０の時はZは０にはなりえないから互いに独立にはならない、という考え方で合っていますでしょうか？

お礼日時：2025/03/23 12:54

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2025/03/23 12:03

いや、単に

「1枚目、2枚目、3枚目」
などと、相互に何らかの意味を持たせる条件を付けない、つまり「区別しない」という意味でしょう。

サイコロであれば「同じ形状、大きさであって、相互に区別できない」ということで、「大・中・小のサイコロ」のような区別をしないということ。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。質問内容が不十分でした。
期待値をE、分散をVとすると、
E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)
V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y)+V(Z)
が成り立つ条件は、X、Y、Zが互いに独立ということだそうですが、このやり方で解くことができるのは、同じ数字が4枚以上あるからでしょうか？

お礼日時：2025/03/23 12:51