三つの複素数の位置関係

ｘとｙとｚが複素数で、
２ｘ＝（１－ｘ＾２）ｙ
２ｙ＝（１－ｙ＾２）ｚ
２ｚ＝（１－ｚ＾２）ｘ
を満たすとき、複素平面上でｘ、ｙ、ｚはどういう関係にあるか、とかいえますか？

ｘ、ｙ、ｚを　a+bi　の形で表すと文字が増えてしまい・・・。
アドバイスお願いします。

No.9 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/19 14:57

あ、間違えた。

もっと絞り込める。

x = tanα,
y = tanβ,
z = tanγ
と置く時点で Re:α, Re:β, Re:γ は -π/2 〜 +π/2 に制限できるから、
α = (π/7)(4a + 2b + c),
β = (π/7)(a + 4b + 2c),
γ = (π/7)(2a + b + 4c)
より
-7/2 < 4a + 2b + c < 7/2,
-7/2 < a + 4b + 2c < 7/2,
-7/2 < 2a + b + 4c < 7/2.

これを満たす整数 (a,b,c) は
(a,b,c) = (1,0,-1), (1,-1,0),
　　　　(0,1,-1), (0,0,0), (0,-1,1),
　　　　(-1,1,0), (-1,0,1).
の 7 個しかない。
{ x, y, z が (a,b,c) の奇関数であることと
　a, b, c の巡回性を考慮すると、
　実質的には (x,y,z) = (0,0,0), ((3/7)π,(-1/7)π,(-2/7)π) の2 通り。 }

これに、先に場合分けした (x,y,z) = ±(i,i,i) を添えると
全ての解となる。

この回答へのお礼

詳細な回答ありがとうございました。
勉強になりました。

お礼日時：2025/03/27 00:06

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/19 14:06

x = tan( (π/7)(4a + 2b + c) ),

y = tan( (π/7)(a + 4b + 2c) ),
z = tan( (π/7)(2a + b + 4c) )
を、もう少し整理できないかな。

x = tanα,
y = tanβ,
z = tanγ
と置く時点で Re:α, Re:β, Re:γ は -π 〜 +π に制限できるから、
α = (π/7)(4a + 2b + c),
β = (π/7)(a + 4b + 2c),
γ = (π/7)(2a + b + 4c)
より
-7 < 4a + 2b + c < 7,
-7 < a + 4b + 2c < 7,
-7 < 2a + b + 4c < 7.

これに
x, y, z が (a,b,c) の奇関数であることから a ≧ 0 と
a,b,c の巡回性から b ≦ a, c ≦ a を添えると、
不等式を満たす整数 (a,b,c) は 21 個。
このくらいなら、列挙して (x,y,z) の重複を除く
ことも無理ではないか。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/19 09:25

x = tanα,

y = tanβ,
z = tanγ と置くと、
x, y, z が ±i でないとき与式は
tan(2α) = tanβ,
tan(2β) = tanγ,
tan(2γ) = tanα
となって、tan を外すと
2α = β + aπ,
2β = γ + bπ,
2γ = α + ｃπ　(ただし a,b,c は任意の整数).
連立一次方程式を解いて
α = { (4/7)a + (2/7)b + (1/7)c }π,
β = { (1/7)a + (4/7)b + (2/7)c }π,
γ = { (2/7)a + (1/7)b + (4/7)c }π
となるから、
x = tan( { (4/7)a + (2/7)b + (1/7)c }π ),
y = tan( { (1/7)a + (4/7)b + (2/7)c }π ),
y = tan( { (2/7)a + (1/7)b + (4/7)c }π ).

x = ±i の場合は、
与式へ代入すると容易に
(x,y,z) = ±(i,i,i) が求められる。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/18 17:03

#4補足です

この回答へのお礼

力技をきれいに示していただきありがとうございました。

お礼日時：2025/03/27 00:07

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/16 17:19

普通に場合分けでいいようが気がするが。

tan(2α) = tanβ,
tan(2β) = tanγ,
tan(2γ) = tanα
から
2α = β + aπ,
2β = γ + bπ,
2γ = α + ｃπ　(ただし a,b,c は整数)
のほうが遥かに簡明だしね。

±i は別に検証でいいんじゃない？

No.1 と違う解法にしたいのは判るけど
けっこう無理矢理かと。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/16 15:00

#2訂正です

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/16 08:11

No.1 が

＞ tan の値域は複素数全体ではない事に注意
と言っているのは、

x = tanα,
y = tanβ,
z = tanγ
と置換して解くと
x, y, z のどれかが ±i になる場合を見落とすから気をつけろ
と言いたいんだと思うんだ。

i と -i は tanα (αは複素数) の値域に含まれないからね。

実際、この問題には、
(x,y,z) = (i,i,i), (-i,-i,-i)
という解がある。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/15 20:45

(x,y,z)=(0,0,0)

(x,y,z)=(tan(π/7),tan(2π/7),-tan(3π/7))
(x,y,z)=(tan(2π/7),-tan(3π/7),tan(π/7))
(x,y,z)=(tan(3π/7),-tan(π/7),-tan(2π/7))
(x,y,z)=(-tan(3π/7),tan(π/7),tan(2π/7))
(x,y,z)=(-tan(2π/7),tan(3π/7),-tan(π/7))

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2025/03/15 18:28

とりあえずx=tanαと置くと見通しが良くなるのでは。

tanの値域は複素数全体ではない事に注意する必要がありますけど。